dinamica

Ingenier´ Matem´tica
ıa
a
FACULTAD DE CIENCIAS
´
F´
ISICAS Y MATEMATICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
´
Introducci´n al Algebra 10-1
o

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´
SEMANA 1: LOGICA

1.

L´gica
o

La l´gica le proporciona a las matem´ticas un lenguaje claro y un m´todo preciso
o
ae
para demostrar teoremas a partir de axiomas. Por ejemplo:
axiomas de Euclides, definiciones, nociones primarias de geometr´ cl´sica
ıa a
+
l´gica
o
=
teoremas de la geometr´ euclidiana
ıa
Un ejemplo de noci´n primaria es la de punto. Un ejemplo de axioma es el que dice
o
que por un punto ubicado fuera de una recta L pasa una y s´lo una recta paralela
o
a L.
Sin la l´gica losaxiomas ser´ un mont´n de verdades aceptadas, pero nada m´s.
o
ıan
o
a
La l´gica, sin embargo, les da sentido y permite concluir nueva verdades (teoremas)
o
que antes no conoc´
ıamos. Un ejemplo de teorema: la suma de los ´ngulos interiores
a
de cualquier tri´ngulo siempre es de 180◦ .
a
Al ser la l´gica el punto de partida de las matem´ticas, en ella se deben introducir
o
a
nocionesprimarias tales como proposici´n, valor de verdad, conectivo l´gico.
o
o

1.1.

Proposiciones y valor de verdad

Definici´n 1.1 (Proposici´n l´gica). Una proposici´n debe interpretarse como
o
o o
o
un enunciado que siempre toma uno de los valores de verdad posibles: verdadero
(V ) o falso (F ).
Por ejemplo, en el contexto de la aritm´tica, “2+1=5” corresponde efectivamente a
e
unaproposici´n. M´s a´ n, su valor de verdad es F .
o
a u
T´
ıpicamente notaremos a las proposiciones con letras min´ sculas: p, q, r, etc.
u
Algunos ejemplos:
“Estoy estudiando ingenier´
ıa”.
“1≥ 0”.
“Est´ lloviendo en Valdivia”.
a

1.2.

Conectivos l´gicos
o

Los conectivos l´gicos sirven para construir nuevas proposiciones a partir de proposio
ciones ya conocidas. El valor deverdad de la nueva proposici´n depender´ del valor
o
a
de verdad de las proposiciones que la forman. Esta dependencia se explicita a trav´s
e
de una tabla de verdad.
Definici´n 1.2 (Negaci´n). La proposici´n p se lee “no p” y es aquella cuyo valor
o
o
o
de verdad es siempre distinto al de p. Por ejemplo, la negaci´n de “mi hermano ya
o
cumpli´ quince a˜ os” es “mi hermano a´n no cumplequince a˜ os”. Esto se explicita
o
n
u
n
a trav´s de la siguiente tabla de verdad.
e

1

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a a
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e
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p
V
F

p
F
V

Definici´n 1.3 (O l´gico o disyunci´n). La proposici´n p ∨ q se lee “p o q”.
o
o
o
o
Decimos que p ∨ q es verdad, o que “se tiene p ∨ q”, cuando al menos una de las dosproposiciones, o bien p o bien q, es verdadera. Por ejemplo, la proposici´n “ma˜ ana
o
n
llover´ o ma˜ ana no llover´” es verdadera. En otras palabras, tal como se aprecia
a
n
a
en la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene p ∨ q lo que nos est´
a
diciendo es que nunca son simult´neamente falsas.
a
p
V
V
F
F

p∨q
V
V
V
F

q
V
F
V
F

Definici´n 1.4 (Yl´gico o conjunci´n). La proposici´n p∧q se lee “p y q”. Tal
o
o
o
o
como se aprecia en la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene p ∧ q,
lo que nos est´ diciendo es que ambas proposiciones son verdaderas.
a
p
V
V
F
F

p∧q
V
F
F
F

q
V
F
V
F

Definici´n 1.5 (Implicancia). Todos estaremos de acuerdo en considerar vero
dadera la proposici´n “si el se˜ or Kest´ en California entonces el se˜ or K est´ en
o
n
a
n
a
Estados Unidos”. ¿Por qu´?
e
Porque a uno no le importa d´nde est´ el se˜ or K: podr´a estar en Texas o en Chio
a
n
ı
na. Lo unico importante es que, si efectivamente “est´ en Californa”, entonces
´
a
podemos concluir, con esa sola informaci´n, que “est´ en Estados Unidos”.
o
a
La proposici´n p ⇒ q se lee “p implica q” o...