dinamica

ppara 0 < x < 1. La figura 3.16 muestra una gráfica de x (l — x) y una gráfica de esta suma de
cuatro términos de las funciones de Bessel en [0, 1], La gráfica está dibujada en [—1, §] para
enfatizar que fuera de [0 , 1], no se puede afirmar que x (l — x) está aproximada por la serie de
Fourier-Bessel, y de hecho, las gráficas divergen una de la otra fuera de [0, 1]. La exactitud en
[0 , 1]puede mejorarse calculando más términos de la serie.

3.3 Teoría de Sturm-Liouville y desarrollos en funciones propias

3.3.1 El problema de Sturm-Liouville

Hemos visto esencialmente el mismo escenario aparecer tres veces:
ecuación diferencial = soluciones que son ortogonales en [a, 6 J
= > desarrollos en series de funciones arbitrarias de esas soluciones
= 4- teorema de convergenciapara el desarrollo.
Primero tuvimos series (trigonométricas) de Fourier, luego polinomios de Legendre y series de
Fourier-Legendre, y después funciones de Bessel y desarrollos de Fourier-Bessel.
Esto fuerza la imaginación para pensar que las similitudes en los teoremas de convergencia
no sean pura coincidencia. Ahora desarrollaremos una teoría general en la cual estos teoremas
de convergenciaencajan naturalmente. Esto también ampliará nuestro arsenal de herramientas en
preparación para resolver ecuaciones diferenciales parciales.

Consideremos ia ecuación diferencial

y" + R (x )y ' + (Q (x) + X P (x))y = 0

Dado un intervalo (a. b) en que los coeficientes son continuos, buscamos valores de X para
los cuales esta ecuación tenga soluciones no triviales. Como veremos, en algunoscasos habrá
condiciones en la frontera que deben satisfacerse (condiciones específicas en a y b), y algunas
veces no.
Primero ponemos la ecuación diferencial en una forma estándar conveniente. Multiplicamos
la ecuación (3.33) por

r(x ) =

para obtener

y j R M d x + R(x ) y 'eí L(x)dx + { q {x ) + x P ( x ) ) e f R M dxy = 0.

Como r(x) f o, esta ecuación tiene las mismas solucionesque la ecuación (3.33). Ahora reconocemos
que la última ecuación puede escribirse como

(r y 'y + (q + λp)y = 0. (3.34)

La ecuación (3.34) es llamada la ecuación diferencial de Sturm-Liouviile, o la forma Sturm-
LÁouville de la ecuación (3.33). Supondremos que p, q, y r y r' son continuas en [a, b], o al
menos en (a, b), y p ( x ) > 0 y r(x) > 0 en (a, b).
EJEMPLO 3.6
La ecuacióndiferencial de Legendre es

( 1 — x 2)y " — 2xy' + λy =0.

Inmediatamente, podemos escribir ésta en la forma de Sturm-Liouville como

( ( l - x ²) y)' + λy = 0
para — 1 < x < 1. Correspondientes a los valores λ = n (n + 1), con n -- 0, 1, 2 , . . . , los
polinomios de Legendre son soluciones. Como vimos en la sección 3.1, también existen soluciones
no polinomiales correspondientes a otraselecciones de X. Sin embargo, estas soluciones
no polinomiales no están acotadas en [— 1, 1].




EJEMPLO 3 .7
La ecuación (3.12), con a = 0 ,c = 1, y b = . puede escribirse

(xy')' + (λx — )=0

Esta es la forma de Sturm-Liouville de la ecuación de Bessel. Para X > 0, esta ecuación tiene
soluciones en términos de las funciones de Bessel de orden v de la primera y segunda clase,

Jv() yYv()

Ahora distinguiremos tres clases de problemas de Sturm-Liouville.
El problema de Sturm-Liouville regular
Queremos números X para los cuales existen soluciones no triviales de

(ry)+ (q + λp)y = 0


en un intervalo [a. b]. Estas soluciones deben satisfacer condiciones regulares en la frontera, que
tienen la forma

A1y(a) + A 2yla) = 0, B1y{b) + B 2 y (b ) = 0.

A1 y A2 sonconstantes dadas, no ambas cero, y similarmente para B1 y B2.
El problema periódico de Sturm-Liouville
Ahora supongamos r(a) = r(b). Buscamos números X y las soluciones no triviales correspondientes
de la ecuación de Sturm-Liouville en [a, b] satisfaciendo las condiciones periódicas en
la frontera , ,

y (a) = y(b), y’ (a) = y (b).

El problema singular de Sturm-Liouville
Buscamos números X y...