dinamicas de la poblacion, ecuaciones diferencuales
Páginas: 5 (1011 palabras)
Publicado: 21 de abril de 2015
INTRODUCCION
Thomas Malthus (1766-1834) se preocupa de entender como las limitaciones del medio impiden el crecimiento sin lımite de la población, llegando a modelos de crecimiento logísticos
En este trabajo vamos a analizar algunos de los modelos poblacionales más sencillos y veremos como el Cálculo nos conduce de forma natural a las ecuaciones que gobiernan este tipo de procesos.OBJETIVOS
DESARROLLO DEL TRABAJO
El modelo de crecimiento de Malthus (también denominado modelo de crecimiento exponencial) está formulado a través de un problema de valor inicial (p.v.i.) basado en una e.d.o. de primer orden lineal homogénea a coeficientes constantes (véase Ecuación 1).
En dicho modelo las variables son:
p(t): población en el instante t .
pₒ: poblacióninicial en el instante tₒ.
α constante de crecimiento relativo de la población.
El modelo debe ser interpretado haciendo uso del significado físico de la derivada. Obsérvese que la e.d.o. nos indica que la variación instantánea de la población en el instante t, dada por p'(t) , es directamente proporcional (siendo α la constante proporcionalidad) a la población p(t) que hay en dicho instante.La idea básica que subyace a esta propuesta de modelización es que, cuanto mayor es el número de individuos, i.e., mayor es p(t) , mayor es la variación (dada por p'(t) ) que puede sufrir la población. Obviamente, esta afirmación requiere de numerosos matices. En primer lugar, la variación de la población puede ser creciente o decreciente y ello dependerá de la diferencia entre el número deindividuos que nacen y mueren. Intuitivamente, la constante α , que puede ser tanto positiva como negativa, es la que determina el crecimiento o decrecimiento de la población. Si aislamos α de la e.d.o. entenderemos mejor el rol que desempeña en el modelo, así como la denominación anterior de constante de crecimiento relativo. Obsérvese que α = p'(t) / p(t) . Como el denominador de esta fracción essiempre positivo (por representar una población), el signo de α está determinado por el signo de p'(t):
Si p'(t) > 0 ⇒ α > 0 : En efecto, si p'(t) > 0 entonces sabemos que la población crece y por la definición de α se tiene: α > 0 .
Si p'(t) = 0 ⇒ α = 0 : En efecto, si p'(t) = 0 entonces sabemos que la población permanece constante e igual al valor inicial pₒ y por la definición de α se tiene: α = 0.
Si p'(t) < 0 ⇒ α < 0 : En efecto, si p'(t) < 0 entonces sabemos que la población decrece y por la definición de α se tiene: α < 0
Obviamente, el modelo que hemos desarrollado es bastante sencillo y resulta natural considerar otros aspectos importantes que se dan en la dinámica de una población, como por ejemplo la posibilidad de que haya fenómenos migratorios (tanto de emigración como deinmigración), que la tasa de crecimiento no sea constante y que pueda depender del tiempo o incluso de la población, que coexistan varias especies en régimen de competencia
Consideremos que nuestra población está bajo un fenómeno migratorio de forma que hay un flujo de individuos que llegan a la población del exterior a un ritmo de b individuos por unidad de tiempo y este flujo migratorio puede serpositivo (inmigración) o negativo (emigración). Asumiremos, además, que en el momento en que individuos llegan desde fuera, estos se incorporan a la población que hemos denominado por x y siguen las mismas leyes de crecimiento que x, es decir, no tenemos dos especies diferenciadas (la local y la inmigrada) obedeciendo distintas leyes de evolución. Observamos que en el incremento de población en elintervalo (t, t + ∆t) hay que incluir el debido al flujo dado por la migración:
Obviamente, el numero de habitantes inmigrados en el intervalo (t, t + ∆t) es b∆t. Obtenemos, por tanto, que
Que de nuevo se escribe en lenguaje moderno como y es lo que se denomina una ecuación diferencial ordinaria lineal y de coeficientes constantes.
La hipótesis que hemos...
Thomas Malthus (1766-1834) se preocupa de entender como las limitaciones del medio impiden el crecimiento sin lımite de la población, llegando a modelos de crecimiento logísticos
En este trabajo vamos a analizar algunos de los modelos poblacionales más sencillos y veremos como el Cálculo nos conduce de forma natural a las ecuaciones que gobiernan este tipo de procesos.OBJETIVOS
DESARROLLO DEL TRABAJO
El modelo de crecimiento de Malthus (también denominado modelo de crecimiento exponencial) está formulado a través de un problema de valor inicial (p.v.i.) basado en una e.d.o. de primer orden lineal homogénea a coeficientes constantes (véase Ecuación 1).
En dicho modelo las variables son:
p(t): población en el instante t .
pₒ: poblacióninicial en el instante tₒ.
α constante de crecimiento relativo de la población.
El modelo debe ser interpretado haciendo uso del significado físico de la derivada. Obsérvese que la e.d.o. nos indica que la variación instantánea de la población en el instante t, dada por p'(t) , es directamente proporcional (siendo α la constante proporcionalidad) a la población p(t) que hay en dicho instante.La idea básica que subyace a esta propuesta de modelización es que, cuanto mayor es el número de individuos, i.e., mayor es p(t) , mayor es la variación (dada por p'(t) ) que puede sufrir la población. Obviamente, esta afirmación requiere de numerosos matices. En primer lugar, la variación de la población puede ser creciente o decreciente y ello dependerá de la diferencia entre el número deindividuos que nacen y mueren. Intuitivamente, la constante α , que puede ser tanto positiva como negativa, es la que determina el crecimiento o decrecimiento de la población. Si aislamos α de la e.d.o. entenderemos mejor el rol que desempeña en el modelo, así como la denominación anterior de constante de crecimiento relativo. Obsérvese que α = p'(t) / p(t) . Como el denominador de esta fracción essiempre positivo (por representar una población), el signo de α está determinado por el signo de p'(t):
Si p'(t) > 0 ⇒ α > 0 : En efecto, si p'(t) > 0 entonces sabemos que la población crece y por la definición de α se tiene: α > 0 .
Si p'(t) = 0 ⇒ α = 0 : En efecto, si p'(t) = 0 entonces sabemos que la población permanece constante e igual al valor inicial pₒ y por la definición de α se tiene: α = 0.
Si p'(t) < 0 ⇒ α < 0 : En efecto, si p'(t) < 0 entonces sabemos que la población decrece y por la definición de α se tiene: α < 0
Obviamente, el modelo que hemos desarrollado es bastante sencillo y resulta natural considerar otros aspectos importantes que se dan en la dinámica de una población, como por ejemplo la posibilidad de que haya fenómenos migratorios (tanto de emigración como deinmigración), que la tasa de crecimiento no sea constante y que pueda depender del tiempo o incluso de la población, que coexistan varias especies en régimen de competencia
Consideremos que nuestra población está bajo un fenómeno migratorio de forma que hay un flujo de individuos que llegan a la población del exterior a un ritmo de b individuos por unidad de tiempo y este flujo migratorio puede serpositivo (inmigración) o negativo (emigración). Asumiremos, además, que en el momento en que individuos llegan desde fuera, estos se incorporan a la población que hemos denominado por x y siguen las mismas leyes de crecimiento que x, es decir, no tenemos dos especies diferenciadas (la local y la inmigrada) obedeciendo distintas leyes de evolución. Observamos que en el incremento de población en elintervalo (t, t + ∆t) hay que incluir el debido al flujo dado por la migración:
Obviamente, el numero de habitantes inmigrados en el intervalo (t, t + ∆t) es b∆t. Obtenemos, por tanto, que
Que de nuevo se escribe en lenguaje moderno como y es lo que se denomina una ecuación diferencial ordinaria lineal y de coeficientes constantes.
La hipótesis que hemos...
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