diseño de vigas cimentacion infinitas

Vigas en fundación elástica

J. T. Celigüeta

Definición
Viga conectada en toda su longitud en algún medio
material deformable (terreno) que interacciona con ella.
Se transmite fuerza transversal entre la viga y el medio
material.
La fuerza transmitida es debida a la deformación del
terreno.

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Definición
Raíles de ferrocarril, vigas de cimentación, tuberías
enterradasPrimeros estudios:
Winkler (1875): viga continua de infinitos vanos muy próximos.
Zimmerman (1906) viga continua sobre muelles discretos.

Teoría actual
Timoshenko (1915).

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Comportamiento del terreno
Modelo lineal: proporcionalidad entre la presión sobre el terreno
y la deformación lateral de la viga.
Kt =

p
δ

Kt: Coeficiente de balasto del terreno
|Kt| : F/L3

Habitualmentekg/cm3

Depende fuertemente de la naturaleza del terreno
Determinación: experimental, bibliografía

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Comportamiento del terreno
Terreno

Kt (kg/cm3)

Arcilla arenosa húmeda

2 - 3

Arcilla arenosa seca

6 - 8

Grava arenosa fina

8 - 10

Grava arenosa seca

15 - 20

Otras fórmulas y valores en la bibliografía
Otros modelos más sofisticados (casos muy especiales)
d 2δp = Kt δ + K1 2
dx
4

Teoría básica (1)
Hipótesis de Navier: secciones planas se mantienen
d 2v
perpendiculares a la fibra neutra
ε = −y 2
Deformación unitaria lineal, proporcional a la curvatura
Curvatura = derivada segunda

Momento flector
d 2v
M ≡ −∫ σydA = EI 2
dx
Se supone comportamiento
bidireccional de la fundación
(terreno empuja en ambos sentidos)

Equilibrio demomentos
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dM
Q =−
dx

dx

Teoría básica (2)
Equilibrio vertical

dQ = Ktvbdx + qdx

Sustituyendo Q y M
d 4v
EI 4 + Kt b v + q = 0
dx

Coeficiente de balasto de la viga:

K = Kt b

Ecuación de equilibrio de la viga en fundación elástica
d 4v
EI 4 + K v + q = 0
dx
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Solución general de la ecuación homogénea
Sin carga exterior

d 4v
EI 4 + K v = 0
dx

Solucionesdel tipo:

v = e ax
1/ 4

Sustituyendo

a 4EIe ax + Ke ax = 0
a = (±1 ± i ) β

⎛K ⎞
a =⎜ ⎟
⎜ EI ⎠
⎝ ⎟

4 números
complejos módulo 1

1/ 4

Siendo

⎛ K ⎞
⎟
β =⎜
⎟
⎜ 4EI ⎠
⎝

Solución final

v=

∑ Ae
i

i =1,4
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“Rigidez relativa” viga - terreno

ai x

1/ 4

(−1)

Solución general de la ecuación homogénea
Sustituyendo exponenciales por trigonométricasv = e βx (C 1 cos βx + C 2 sin βx ) + e −βx (C 3 cos βx + C 4 sin βx )
Deformación según funciones trigonométricas con amplitud variable de
forma exponencial
Sólo válido para tramos de la viga sin cargas
Las magnitudes restantes (M, Q) tendrán variaciones similares, al
ser derivadas de la deformada
Longitud de onda de la respuesta: β
“Amortiguamiento” de la respuesta: β
Hallar lasconstantes de integración en cada caso particular
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Viga infinita con carga puntual
Aplicable la solución general
de la homogénea, salvo en x=0

v = e βx (C 1 cos βx + C 2 sin βx ) +
e −βx (C 3 cos βx + C 4 sin βx )

Condiciones de contorno
Infinito:

x =∞

Simetría:

v ′ (x = 0) = 0

Equilibrio en x=0

→
→

C1 = C 2 = 0

−C 3 + C 4 = 0

Q(x = 0) = −EIv ′′′(x = 0) =

v=−
9

v=0

P
2

P β −β x
e (cos βx + sin βx )
2K

→

C3 = −

Pβ
2K

Viga infinita con carga puntual. Deformada

v =−

P β −β x
e (cos βx + sin βx )
2K

Deformada oscilante de amplitud decreciente
La viga se levanta en una serie de tramos.
El primer punto está en x=3π/4β.
Solución sólo válida si el terreno es bidireccional.
En todo caso el error cometido si elterreno no es bidireccional es del
orden del 4%, en los casos habituales en ingeniería
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Viga infinita con carga puntual. Resultados
v =−

P β −β x
e (cos βx + sin βx )
2K
v =−

Pβ
F1(βx )
2K

d 2v
P −β x
M = EI 2 =
e (cos βx − sin βx )
dx
4β

M=

P
F3 (βx )
4β

d 3v
P
Q = −EI 3 = e −βx cos(βx )
dx
2

Q=
11

P
F4 (βx )
2

Funciones típicas
F1 (β x ) = e...