Diseños Factoriales

INSTITUTO TECNOLOGICO DE PACHUCA





ESTADISTICA INFERENCIAL 2

Prof. Jaime González Nava

Tema de exposición:
Diseños Factoriales con Tres Factores


DISEÑOS FACTORIALES CON TRES FACTORES
Cuando se tienen tres factores (A,B, C) y el numero de niveles de prueba en cada uno de ellos son a, b y c, se puede construir el arreglo factorial a x b x c, que consiste de a x bx c tratamientos o puntos experimentales.
MODELO ESTADISTICO
Es un diseño factorial a x b x c se supone que el comportamiento de la respuesta Y puede describirse mediante el modelo de efectos dado por
yijk = μ + αi + βj + γk + (αβ)ij + (αγ)ik + (βγ)jk + (αβγ)ijk + εijk
i = 1, 2, · · · , a ; j = 1, 2, · · · , b ; k = 1, 2, · · · , c; l =1,2,…,n
donde μ es la media general, αi es el efectodel nivel i-ésimo del factor A, βj es el efecto del nivel j del factor B y γk es el efecto del nivel k ek el factor C; (αβ)ij, (αγ)ik y (βγ)jk representan efectos de intersección dobles (de dos factores) en los niveles ij, ik, jk, respectivamente, y (αβγ)ijk es el efecto de interacciona triple en la combinación o punto ijk; εijk representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o replicas del experimento. Todos los efectos cumplen la restricción de sumar cero, es decir, son desviaciones respecto a la media general μ. De manera alternativa, se tiene el modelo de regresión dado por
γijkl = β0 + β1X1i +β2X2j + β3X3k + β12X1iX2j + β13X1iX3k + β23X2jX3k +β123X1iX2jX3k + εijkl ;
i=1,2,…,a; j=1,2,…,b; k=1,2,…,c; l=1,2,…,n
HIPOTESIS DE INTERES
El estudio factorial detres factores (A, B y C ) permite investigar los efectos: A, B, C, AB, AC, BC y ABC, donde el nivel de desglose o detalle con el que pueden estudiarse depende del numero de niveles utilizando en cada factor.
FV | SC | GL | CM | F0 |
Efecto A | SCA | a-1 | CMA | CMA / CME |
Efecto B | SCB | b-1 | CMB | CMB / CME |
Efecto C | SCC | c-1 | CMC | CMC / CME |
Efecto AB | SCAB | (a-1)(b-1) |CMAB | CMAB / CME |
Efecto AC | SCAC | (a − 1)(c − 1) | CMAC | CMAC / CME |
Efecto BC | SCBC | (b − 1)(c − 1) | CMBC | CMBC / CME |
Efecto ABC | SCABC | (a − 1)(b − 1)(c − 1) | CMABC | CMBC / CME |
Error | SCE | abc(n-1) | CME | CMABC / CME |
Total | SCT | abcn-1 | | |

En resumen, se tienen siete efectos de interés sin considerar desglose, y con ellos se pueden plantear las sietehipótesis nulas H0 : Efecto A = 0, H0 :Efecto B = 0,…, H0 :efecto ABC = 0, cada una aparejada con su correspondiente hipótesis alternativa.
Al efecto cuyo p-value sea menor al valor especificado en alfa, se declara estadísticamente significativo o se dice que esta activo. La suma de cuadrados son muy similares a las obtenidas para dos factores.

Restando estas del total, la suma de cuadrados delerror resulta ser
SCT = SCA + SCB + SCC + SC(AB) + SC(AC) + SC(BC) + SC(ABC) + SCR

EJERCICIO
Un ingeniero mecánico estudia la rugosidad superficial de una pieza producida en una operación de corte de metal. El interés recae en tres factores: la rapidez con la que se hace el corte(A), la profundidad de este(B) y el ángulo de la herramienta(C). A los tres factores se les asignan dos niveles, yse realizan dos replicas de diseño factorial. Los datos aparecen en la tabla siguiente, en la cual los totales de las celdas triples {yijk} aparecen encerrados en círculos
Rapidez de corte (A) | Profundidad de corte (B) | yi… |
| 0.025 pulgadas 0.040 pulgadas | |
| Angulo de la herramienta (C) | Angulo de la herramienta (C) | |
| 15° | 25° | 15° | 25° | |
20pulg./min | 9716 | 111021 | 91120 | 10818 | 75 |
30 pulg./min | 101222 | 101323 | 121527 | 161430 | 102 |
Totales A x B y.jk | 38 | 44 | 47 | 48 | 177 = y… |

Totales A x C
Yi.k..
C
Totales A x C
Yi.k..
C
Totales A x B
Yij..
B
Totales A x B
Yij..
B

A | 0.025 | 0.040 |
20 | 37 | 38 |
30 | 45 | 57 |
y.j… | 82 | 95 |
A | 15 | 25 |
20 | 36 | 39 |
30 | 49 | 53 |...