Diseno

Electromagnetismo 2004

7-1

7 - Métodos Numéricos I
Métodos Numéricos en baja frecuencia
Introducción
Existen diversas herramientas matemáticas para la obtención de funciones potencial para diversos tipos de campos. En particular, en campos eléctricos y magnéticos estáticos los potenciales satisfacen ecuaciones de Poisson y Laplace: ∇ 2 Φ (r ) = − ρ (r ) ε ∇ 2 A (r ) = − µ j(r ) ∇ 2 Ψm (r ) = 0potencial electrostático potencial vectorial magnético potencial escalar magnético

Por otra parte, estos potenciales permiten determinar con buena aproximación los campos también en casos cuasi-estáticos o cuasi-estacionarios (baja frecuencia). Vamos a analizar en este Capítulo distintas técnicas, analíticas y numéricas, para resolver estas ecuaciones. Un problema de potencial se presentará comouna ecuación diferencial, en general de Poisson, que cumple una determinada función potencial cuasi-estática f(r,t) dentro de un dado recinto V del espacio, junto con condiciones de contorno definidas sobre la superficie S frontera del recinto S1 de integración y eventuales superficies internas (S1, S2, etc.) que separan regiones de propiedades diferentes (permitividad, permeabilidad,conductividad, etc.). Los métodos llevan a postular una función potencial generalmente diferente en cada región, que sobre las superficies internas también cumplen condiciones de contorno. Las condiciones de contorno son, en general, defi f 0 (r, t ) nidas por el valor o la continuidad de la función  S :  ∂f 0 V : ∇ 2 f (r , t ) = g (r , t ) potencial sobre una superficie (condición de DiS2  ∂n  richlet)y/o el valor o la continuidad de la derivada del potencial en la dirección normal a la superficie (condición de Neumann), o una mezcla de estas condiciones. Por otra parte, las soluciones de la ecuación de Laplace tiene propiedades que se pueden usar en la búsqueda de las soluciones del problema: • Superposición (linealidad) • Unicidad • Armonicidad Existen distintos tipos de técnicas analíticaspara la resolución de estas ecuaciones (método de inversión, etc) que conforman una rama muy desarrollada de la física matemática conocida como teoría del potencial. Veremos solamente a continuación uno de los métodos más importantes y quizás el más sencillo para la solución analítica de ecuaciones diferenciales lineales, el método de separación de variables.

Juan C. Fernández - Departamento deFísica – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar

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Separación de variables

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Las coordenadas que definen la posición de un punto en el espacio son variables independientes entre sí. Las soluciones de la ecuación de Laplace dependen de estas variables. Por lo tanto, se puede hallar una solución posible si suponemos que el potencial es el productode funciones que dependen de una única variable de posición. Vamos a desarrollar este método, llamado de separación de variables, en los tres sistemas de coordenadas básicos que se usan en mayor medida1.

Coordenadas cartesianas
En coordenadas cartesianas tenemos: Separamos variables con la hipótesis:
∇ 2 Φ (r ) = ∇ 2 Φ ( x , y , z ) = ∂ 2Φ ∂x 2 + ∂ 2Φ ∂y 2 + ∂ 2Φ ∂z 2 =0

Φ( x, y , z ) = X ( x )Y ( y ) Z ( z ) YZ d2X dx 2 + XZ d 2V dy 2 + XY d 2V dz 2 =0

Reemplazamos en la ecuación diferencial:

y ahora dividimos toda la ecuación por Φ = XYZ :
1 d 2 X 1 d 2V 1 d 2V 2 2 + + = −k x − k 2 + k z = 0 y X dx 2 Y dy 2 Z dz 2

observamos que cada sumando es una función de una única variable. Como estas variables son independientes, para que esta suma sea cero para cualquier punto del espacio serequiere que cada sumando sea una constante. Por razones de comodidad matemática que quedarán claras más 2 2 abajo, llamamos a esas constantes − k x ,−k 2 y k z . Nos quedan entonces tres ecuaciones difereny ciales ordinarias:
d2X dx2
2 + kx X = 0

,

d 2Y dy 2

+ k 2Y = 0 y

,

d 2Z dz 2

2 − kz Z = 0

Las soluciones de estas ecuaciones diferenciales son:
 A e ik x x + A e −ik x x = A ′ sen(...