Diseño Factorial

2. Diseño factorial de dos factores

DISEÑO FACTORIAL 2K;
El primer diseño de la serie 22 es aquel en el que solo dos factores, A y B, cada uno con dos niveles. Este diseño se conoce como diseño factorial 22. Arbitrariamente, los niveles del factor pueden llamarse “bajo” y “alto”.
Las cuatro combinaciones de tratamientos en el diseño pueden representarse por letras minúsculas, cono se muestraen la figura 3. En esta figura se aprecia que el nivel superior de cualquier factor de una combinación de tratamientos esta representado por la presencia de la letra minúscula correspondiente, mientras que la ausencia de esta ultima representa el nivel inferior del factor. Así
“a” representa la combinación de tratamientos, en la que A se encuentra en el nivel superior y B en el nivel inferior;“b” representa aquella en la que A se halla en el nivel inferior y B en el superior, y “ab” representa a ambos factores en el nivel superior.
Por convención (1) se usa para representar a ambos factores en el nivel inferior.El efecto promedio de un factor se define como el cambio en la respuesta producida por un cambio en el nivel de ese factor, promediado sobre los niveles del otro factor.
Asícomo ;(1), a, b y ab también se usan para representar los totales de las n replicas de las combinaciones de tratamientos correspondientes. Ahora bien, el efecto de A en el nivel B es {a-(1)}/n. Mientras que el nivel superior B es {ab-b}/n. Tomando el promedio de estas dos cantidades se obtiene:

El efecto promedio de B se determina a partir de su efecto en el nivel inferior de A (esto es,{b-(1)}/n, y de su efecto en el nivel superior de A (que es igual a [ab-a]/n obteniéndose:

El efecto de la interacción AB se define como la diferencia promedio entre el efecto de A en el nivel superior de B y su efecto en el nivel inferior de B, así:
Por otro lado se puede definir AB como la diferencia promedio entre el efecto de B en el nivel superior de A y el efecto de B en el nivel inferiorde A.
Las formulas para los efectos de A, B y AB pueden deducirse por otro método. El efecto de A puede hallarse como la diferencia en la respuesta promedio de las dos combinaciones de tratamiento en la mitad derecha (que llamaremos A+, puesto que es la respuesta promedio para las combinaciones de tratamientos a las que A que se encuentra en el nivel alto) y las dos combinaciones de tratamientosen la mitad izquierda (o A). Esto es,

Este es exactamente el mismo resultado, el efecto de B se encuentra como la diferencia entre el promedio de las dos combinaciones de tratamientos en la parte superior del cuadrado (B+) y el promedio de las dos combinaciones de tratamientos en la parte inferior (B-), o

Finalmente el efecto de interacción AB es el promedio de las combinaciones detratamientos en la diagonal de derecha a izquierda del cuadrado ab y (1) menos el promedio de las combinaciones de tratamientos en la diagonal de izquierda a derecha (a y b), o

En muchos experimentos que implican diseños 2K se examina la magnitud y la dirección de los efectos de los factores para determinar cuales variables es probable que sean importantes. Por lo general puede emplearse el análisis devarianza para confirmar esta interpretación. En el diseño 2k existen algunos métodos rápidos especiales para realizar los cálculos del análisis de varianza.
Consideremos la suma de cuadrados para A, B y AB. Obsérvese la primera ecuación que se utiliza un contraste para estimar A; esto es,

Este contraste suele llamarse efecto total de A. A partir de la segunda y tercera ecuación, puedeapreciarse que también se utilizan contraste para estimar B y AB. Además, estos tres contrastes son ortogonales. La suma de cuadrados de cualquiera de ellos puede calcularse usando la siguiente ecuación:
.
Esta ecuación establece que la suma de cuadrados de contraste es igual al contraste elevado al cuadrado entre el producto del número de las observaciones de cada total del contraste por la...