Dispersion Cuantica

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Dispersi´n Cu´ntica o a

Este cap´ ıtulo est´ dedicado al estudio de la teor´ cu´ntica de la a ıa a dispersi´n, una de las herramientas de mayor relevancia en la mec´nica o a cu´ntica, ya que es a trav´s de las colisiones el´sticas e inel´sticas entre a e a a part´ ıculas una de las pocas maneras que disponemos para tener informaci´n del micromundo. Igualmente, son las colisiones unaventana que o nos permite mirar el mundo at´mico y subat´mico, constituy´ndose de o o e esta manera en una de las formas posibles de comprobar experimentalmente el modelo te´rico de la mec´nica cu´ntica. o a a En la pr´ctica, las colisiones entre part´ a ıculas ha sido el m´todo exe perimental por excelencia utilizado por los f´ ısicos para obtener informaci´n sobre el micromundo. Vale la pena comenzarpor mencionar que la o visi´n que tenemos hoy en d´ de los ´tomos surgi´ de un experimento o ıa a o de colisiones entre n´cleos de helio (part´ u ıculas α) y una l´mina de oro, a en el hoy famoso experimento de Rutherford, llevado a cabo en 1909 en la Universidad de Manchester por Hans Geiger y Ernest Mardsen, en ese entonces estudiantes de Rutherford. De igual manera, es mediante los resultadosexperimentales obtenidos en los grandes colisionadores de part´ ıculas que se ha llegado al estado de conocimiento actual sobre los constituyentes fundamentales de la materia y sus interacciones fundamentales. Vale la pena mencionar el impacto cient´ ıfico obtenido por los aceleradores lineales y circulares de part´ ıculas (ciclotr´n, sincrociclotr´n, o o sincrotr´n, betatr´n, etc.), y loscolisionadores circulares de part´ o o ıculas. En la actualidad hay colisionadores circulares de electrones e− contra positrones e+ en varios pa´ del mundo (USA, Rusia, China, Italia, ıses Jap´n, etc.). El m´s energ´tico de estos colisionadores ha sido el conoo a e 119

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cido como LEP-I/LEP-II, experimentos que funcionaron hasta el a˜o n 2000 en el laboratorioCERN en la frontera entre Francia y Suiza, donde se hacia chocar electrones con positrones hasta energ´ de 114 GeV ıas 9 (114 × 10 electr´n voltios) en el centro de masa. Funciona igualmente o en Alemania (DESY) un colisionador de electrones y protones, al igual que en USA el llamado Tevatron en Fermilab (Chicago), el cual estudia las colisiones entre protones p+ y antiprotones p− a energ´ delorden ıas de 1000 GeV. De especial relevancia hoy en d´ es el llamado LHC ıa (por Large Hadron Collider), aparato ubicado en el CERN y que reemplaz´ al LEP, el que reci´n entr´ en funcionamiento en el 2009 y el cual o e o estudia las colisiones prot´n-prot´n, a energ´ del orden de 5000 GeV o o ıas (5 TeV) en un anillo circular de unos 27 kil´metros de circunferencia. o En este cap´ ıtulo haremos dosaproximaciones te´ricas al problema o de las colisiones en mec´nica cu´ntica: estudiaremos primero la solua a ci´n a la ecuaci´n integral de Schr¨dinger del problema de dispersi´n, o o o o lo que nos llevar´ a la expansi´n perturbativa de la teor´ d´ndonos de a o ıa, a esta manera la conocida aproximaci´n de Born; estudiaremos luego la o llamada expansi´n en ondas parciales la cual est´ basada enla f´rmula o a o de Bahuer que es la expansi´n de una onda esf´rica en sus componeno e tes angulares, o esf´ricos arm´nicos. T´rminaremos el cap´ e o e ıtulo con la demostraci´n de algunos teoremas generales. Nos limitaremos en este o cap´ ıtulo al problema de las dispersiones el´sticas solamente. a

7.1

Quincuag´simo segunda lecci´n e o

En esta lecci´n introduciremos el concepto desecci´n eficaz y los o o dem´s conceptos f´ a ısicos necesarios para estudiar el problema f´ ısico de las colisiones en mec´nica cu´ntica. Igualmente, convertiremos la ecuaci´n a a o diferencial de autovalores del Hamiltoniano (ecuaci´n de Schr¨dinger o o independiente del tiempo) en una ecuaci´n integral y propondremos o soluciones perturbativas a este tipo de ecuaciones.

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