Distancia Dirigida

* 1. GEOMETRIA ANALITICA
* 2. SISTEMA COORDENADO CARTESIANO 1.- El sistema coordenado Unidimensional: Representado por la recta numérica, que se determina por P 1 (x 1 ) y P 2 (x 2 ) se tiene : La distancia dirigida de P 1 a P 2 es : P 2 - P 1 = x 2 - x 1 La distancia no dirigida es : P 1 P 2 ( x 1 ) ( x 2 ) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 P 1 Q 1 R 1 S 1 O Q R P 2 Distancia dirigida Distancia nodirigida Ejemplo: x x
* 3. SISTEMA COORDENADO CARTESIANO 2.- El sistema coordenado Bidimensional: Un punto en el plano se determina mediante el par: P (x,y) Y X P (x,y) 0 I (+ , +) II (- , +) III (- -) IV (+ , -) El sistema de coordenadas en el plano consiste en un par de rectas orientadas perpendiculares, llamadas ejes coordenadas. Recta horizontal : eje x (abscisa) Recta vertical: eje y(ordenada) La intersección de ambas rectas es el origen. Las cuatro partes en que el plano queda dividido por los ejes coordenadas se llaman cuadrantes. Las coordenadas del punto P se representan por el par ordenado (x,y)
* 4. DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL PLANO Sean los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) La distancia entre P 1 y P 2 Se determina por: Esta expresión se obtiene observando lafigura en cuyo triángulo rectángulo P 1 QP 2 , se tiene: donde: sustituyendo en ( 1 ), se tiene finalmente. Y X (O , y 2 ) T S (O,y 1 ) M (x 1 , 0) N (X 2 , 0) Q (x 2 ,y 1 ) P 2 (X 2 ,Y 2 ) P 1 (x 1 , y 1 )
* 5. DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL PLANO Ejemplo 1: Si P 1 = (8 , 6) y P 2 = ( 5 , 2) Hallar d(P 1 , P 2 ) = Ejemplo 2: Demostrar que los puntos A(-2 ,-1) , B(2, 2 ) y C(5 , -2) son losvértices de un triángulo isósceles. A (-2 ,-1) B (2, 2 ) C (5 , -2) y x Como el triángulo ABC es isósceles.
* 6. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA P 2 (x 2 , y 2 ) P(x,y) P 1 (x 1 , y 1 ) Sea el segmento y el punto que divide a en la razón entonces, las coordenadas de P Serán: Si P es la punto medio entonces : ;
* 7. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA en la figura P1 QP PRP 2 entonces : Para hallar la Ordenada y del punto P P 2 (x 2 , y 2 ) P P 1 (x 1 ,y 1 ) (x,y) Q R x y
* 8. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA en la figura P 1 QP PRP 2 entonces : Para hallar la abscisa x del punto P P 2 (x 2 , y 2 ) P P 1 (x 1 ,y 1 ) (x,y) Q R x y
* 9. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA P 2 (x 2 , y 2 ) P P 1 (x 1 ,y 1 ) en la figura P 1QP PRP 2 entonces : (x,y) Q R Observaciones 1. Si r > 0 , el punto P(x , y) está en el interior del segmento: Si r < 0 , el punto P(x , y) está en el exterior del segmento: Si P(x,y) es el punto medio del segmento entonces la razón r = 1 Luego las coordenadas del punto P son: x y
* 10. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA Ejemplo 1. Si A(2,3) y B(4,8) son los extremos de unsegmento. Hallar las coordenadas del punto P(x,y) donde: Solución:
* 11. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA Ejemplo 1. Si A(2,3) y B(4,8) son los extremos de un segmento. Hallar las coordenadas del punto P(x,y) donde: Solución:
* 12. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA Ejemplo 2. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son: A(-2,3)y B(6 ,-3) Solución: A(-2,3) B(6,-3) P(x,y) Q 1 1 1 Punto medio M(x,y) : M P(10/3 , -1) Q(2/3 ,1)
* 13. PENDIENTE DE UNA RECTA P 1 (x 1 ,y 1 ) L x y ANGULO DE INCLINACIÓN Se llama ángulo de inclinación al ángulo formado por la recta L y el eje x positivo, en sentido antihorario. La variación de es : 0° 180°
* 14. PENDIENTE DE UNA RECTA Sea el ángulo formado por la recta L y eleje X La pendiente m de la recta L es: Si la recta L pasa por los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) ; P 2 (x 2 , y 2 ); la pendiente es: ( Ver Figura ) m = Tg Q P 1 (x 1 ,y 1 ) L P 2 (x 2 ,y 2 ) X Y y 2 - y 1 x 2 - x 1
* 15. PENDIENTE DE UNA RECTA m = Tg Q P 1 (x 1 ,y 1 ) L P 2 (x 2 ,y 2 ) X Y y 2 - y 1 x 2 - x 1 OBSERVACIONES 1. Si m > 0 entonces el ángulo de inclinación es agudo ( < 90°...