Distribución Binomial Negativa

La Distribución Binomial Negativa |
 Puede definirse como una generalización del modelo Geométrico o de Pascal. Así, dado un suceso A y su complementario Ac, cuando X representa el número de veces que se da Ac(ausencias, fallos, etc.) hasta que se produce r veces el suceso A, en una serie de repeticiones de la experiencia aleatoria en condiciones independientes, decimos que X sigue ladistribución Binomial negativa. Nótese que, cuando r = 1, tenemos exactamente el modelo geométrico.Este modelo queda definido por dos parámetros p (la probabilidad de A: p = P(A)) y r (el número de veces que debe producirse A para que detengamos la experiencia).La determinación de la función de probabilidad sigue el mismo tipo de razonamiento empleado para obtener las funciones de probabilidad de lasdistribuciones binomial e hipergeométrica. Se desea determinar la probabilidad de que en el n-ésimo ensayo ocurra el k-ésimo éxito. Si se continúan los ensayos independientes hasta que ocurre el k-ésimo éxito, entonces el resultado del último ensayo fue éxito. Antes del último ensayo, habían ocurrido k-1 éxitos en n-1 ensayos, es: n-1k-1. Por lo tanto, la probabilidad de tener k éxitos en n ensayos conel último siendo un éxito, es:pn;k,p=n-1k-1pk1-pn-k n=k,k+1,k+2,...La anterior es lo que se conoce como La Distribución de Pascal. Mediante el empleo de esta ecuación se puede obtener la Distribución Binomial Negativa sustituyendo n=x+k, en donde x es el valor de una variable aleatoria que representa el número de fracasos hasta que se observan, de manera exacta, k éxitos. De estaforma tenemos la función de distribución binomial negativa de la siguiente forma:px;k,p=k+x-1k-10 Para cualquier otro valorpk1-px x=0,1,2,…k=1,2,…0≤p≤1Proceso experimental del que puede hacerse derivarEsta distribución o modelo puede hacerse derivar de un proceso experimental puro o de Bernouilli en el que se presenten las siguientes condiciones * El proceso consta de un númerono definido de pruebas separadas o separables. El proceso concluirá cuando se obtenga un determinado número de resultados favorables K * Cada prueba puede dar dos resultados posibles mutuamente excluyentes A y no A * La probabilidad de obtener un resultado A en cada una de las pruebas es p siendo la probabilidad de no A , q . Lo que nos lleva a que p+q=1 * Las probabilidades p y q sonconstantes en todas las pruebas. Todas las pruebas son independientes. Si se trata de un experimento de extracción éste se llevará cabo con devolución del individuo extraído, a no ser que se trate de una población en la que el número de individuos tenga de carácter infinito. * ·(Derivación de la distribución) Si, en estas circunstancias aleatorizamos de forma que la variable aleatoria x sea "el númerode pruebas necesarias para conseguir K éxitos o resultados A " ; entonces la variable aleatoria x seguirá una distribución binomial negativa con parámetros p y k.será entonces     x BN (p,k)La variable aleatoria x podrá tomar sólo valores superiores a k  x Є k, k+1, k+2,…..El suceso del que se trata podría verse como: Kveces                         AyAyAyAy…yAyAyA..yA X veces   o lo que es lo mismo k veces A∩A∩A∩….∩A∩A∩A…∩A X veces  dado que las pruebas son independientes y conocemos que P(A)= p y P(no A)= q                                        k veces q∙q∙q∙…∙q∙p∙p∙p…∙p=qx-k∙pk X vecesque sería la probabilidad de x si el suceso fuera precisamente con los resultados en ese orden. Dado que pueden darse otros órdenes , en concreto x-1x-k formas u órdenes distintos . La función de...