Distribución de probabilidad binomial.

Distribución de Probabilidad Binomial. Existen diversos experimentos para los cuales el espacio muestral solamente admite dos valores, pueden ser cualitativos, se cumple o no se cumple alguna condición o cuantitativos 0 o 1. No hay diferencia y para efectos de la distribución basta con que los consideremos como éxito y fallo, con valores asignados de 1 y 0, respectivamente. Cuando un experimentocomo éste se ejecuta una sola vez se dice que es un ensayo tipo Bernoulli, la variable aleatoria solo toma dos valores que corresponden con X(éxito) = 1 y X(fallo) = 0 y la distribución de probabilidad también es bastante simplificada con valores   fX(1) = p, y  
fX(0) = 1 - p. Dado un experimento que consiste de una secuencia de n ensayos independientes tipo Bernoulli, donde la probabilidad, p,de éxito no cambia entre ensayo y ensayo del experimento. Si la variable aleatoria que interesa cuantificar es el número de éxitos en los n ensayos, la variable recibe el nombre de Binomial. Por ejemplo se lanza una moneda el aire en 8 ocasiones y se toma como variable aleatoria el número de veces que cae corona, o se registran los próximos 100 nacimientos en un hospital y se toma como variablealeatoria el número de mujeres que nacen.
En una variable binomial se tienen por parámetros la probabilidad de éxito en cada ensayo, p, y el total de ejecuciones, n, y como variable aleatoria X, el número de éxitos digamos x. La distribución de probabilidad la denotaremos por b(x;n, p). Para la distribución de probabilidad acumulada usamos la notación B(x;n, p).

La demostración de la primera delas aseveraciones hechas en el teorema resulta directa, pues puede haber desde ninguno hasta, a lo sumo, n éxitos. La segunda parte resulta de que la ocurrencia de exactamente x éxitos es la conjunción de que en x cualesquiera de los ensayos ocurra éxito y en los n - x restantes ocurra fallo, de acuerdo con la ley del producto la probabilidad es de px(1 - p)n - x. Como no importa cuales x de losensayos resulten en éxito entonces debe de contarse todas las posibles maneras de elegir x ensayos entre los n. La tercera parte es simplemente una adaptación de la definición de la función de probabilidad acumulada. Vale la pena destacar que este tipo de cálculos es bastante laborioso, no obstante se dispone de tablas que resumen algunos de los valores más frecuentes. Mejor aún en la versiónelectrónica de estas notas se da una barra de herramientas que permiten realizar en forma directa los cálculos, que involucren binomiales.   |
  Ejemplo 19 Veinte palomas vuelan hacia 3 nidos. Cada una de ellas se ubicará en forma aleatoria en alguno de los nidos, además una paloma se ubica en forma independiente de lo que hicieron o harán las otras. Calcule las siguientes probabilidades. 1.Exactamente 4 palomas se ubican en el primer nido. 2. A lo sumo cuatro palomas se ubican en el primer nido. 3. Al menos cuatro palomas se ubican en el primer nido. Solución Dadas las condiciones indicadas, el arribo de cada paloma a algún nido es un ensayo de Bernoulli donde éxito es que la paloma se ubique en el nido 1 y fracaso es que no lo haga. La probabilidad de éxito es 1/3 y la variablealeatoria que indica el número de palomas que quedan ubicadas en el primer nido sigue una distribución tipo binomial: b(x;20, 1/3), y las respuestas a los problemas son 1.                                                P[X = 4] = b(4;20, 1/3).       2.   A lo sumo cuatro palomas significa ninguna, una, dos, tres o cuatro es decir:   b(0;20, 1/3) + b(1;20, 1/3) + b(2;20, 1/3) + b(3;20, 1/3) +b(4;20, 1/3), por lo tanto: P[X 4] = B(4;20, 1/3).     3.  Al menos cuatro puede verse como el complemento de a lo sumo tres, por tanto la  la respuesta es         1 - P[X 3]=1-B(4;20, 1/3). Ejemplo 20 Suponga que el 20 por ciento de los componentes fabricados por una planta no pasan un control de calidad. Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 15 componentes consecutivos a lo sumo 8 no...