Distribución T de Student

Distribución t de Student
Historia
La distribución de Student fue descrita en 1908 por William Sealy Gosset. Gosset trabajaba en una fábrica de cerveza, Guinness, que prohibía a sus empleados la publicación de artículos científicos debido a una difusión previa de secretos industriales. De ahí que Gosset publicase sus resultados bajo el seudónimo deStudent.1

ConceptoEn probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferenciaentre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.


Usos
Entre los usos más frecuentes de las pruebas t se encuentran:
El test de locación de muestra única por el cual se comprueba si la media de una población distribuida normalmente tiene un valor especificado en una hipótesis nula.
Eltest de locación para dos muestras, por el cual se comprueba si las medias de dos poblaciones distribuidas en forma normal son iguales. Todos estos test son usualmente llamados test t de Student, a pesar de que estrictamente hablando, tal nombre sólo debería ser utilizado si las varianzas de las dos poblaciones estudiadas pueden ser asumidas como iguales; la forma de los ensayos que se utilizancuando esta asunción se deja de lado suelen ser llamados a veces comoPrueba t de Welch. Estas pruebas suelen ser comúnmente nombradas como pruebas t desapareadas o de muestras independientes, debido a que tienen su aplicación mas típica cuando las unidades estadísticas que definen a ambas muestras que están siendo comparadas no se superponen.5
El test de hipótesis nula por el cual se demuestra quela diferencia entre dos respuestas medidas en las mismas unidades estadísticas es cero. Por ejemplo, supóngase que se mide el tamaño del tumor de un paciente con cáncer. Si el tratamiento resulta efectivo, lo esperable seria que el tumor de muchos pacientes disminuyera de tamaño luego de seguir el tratamiento. Esto con frecuencia es referido como prueba t de mediciones apareadas o repetidas.5 6
Eltest para comprobar si la pendiente de una regresión lineal difiere estadísticamente de cero.

La Caracterización
La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

donde
Z tiene una lateral de media nula y mediana 1
x tiene una [[distribución bilateral] con  grados de confianza
o y z son independientes
Si μ es una constante no nula, el cociente  es unavariable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad .

Formula
La mayor parte de las pruebas estadísticas t tienen la forma , donde Z y s son funciones de los datos estudiados. Típicamente, Z se diseña de forma tal que resulte sensible a la hipótesis alternativa (p.ej. que su magnitud tienda a ser mayor cuando la hipótesis alternativa es verdadera),mientras que s es un parámetro de escala que permite que la distribución de T pueda ser determinada.
Por ejemplo, en una prueba t de muestra única, , donde  es la media muestral de los datos, n es el tamaño muestral, y σ es la desviación estándar de la población de datos; s en una prueba de muestra única es , donde  es la desviación estándar muestral.
Las asunciones subyacentes en una prueba t son:Que Z sigue una distribución normal bajo la hipótesis nula.
ps2 sigue una distribución χ2 con p grados de libertad bajo la hipótesis nula, y donde p es una constante positiva.
Z y s son estadísticamente independientes.
En una prueba t específica, estas condiciones son consecuencias de la población que está siendo estudiada, y de la forma en que los datos han sido muestreados. Por...