distribucion binomial

´
DISTRIBUCION BINOMIAL.
Nos encontramos con un modelo derivado de un proceso experimental
puro, en el que se plantean las siguientes circunstancias.
• Se realiza un n´mero n de pruebas (separadas o separables).
u
˜
• Cada prueba puede dar dos unicos resultados A y A.
´
• La probabilidad de obtener un resultado A es p y la de obtener un re˜
sultado A es q, con q = 1−p, en todas laspruebas. Esto implica que las
pruebas se realizan exactamente en las mismas condiciones y son, por
tanto, independientes en sus resultados. Si se trata de extracciones,
(muestreo), las extracciones deber´n ser con devoluci´n (reemplazaa
o
miento), o bien poblaci´n grande. A esto hagamos una consideraci´n:
o
o
si el proceso consiste en extraer individuos de una poblaci´n y obo
servar si poseencierta caracter´
ıstica: el par´metro n ser´ el n´mero
a
a
u
de extracciones (tama˜o muestral) y el par´metro p la proporci´n de
n
a
o
individuos de la poblaci´n que poseen la caracter´
o
ıstica en cuesti´n.
o
Se ha comentado que para que la probabilidad, de que en cada extracci´n obtengamos un individuo poseedor de la caracter´
o
ıstica sea
constante en todas las pruebas esnecesario que las proporciones poblacionales no cambien tras cada extracci´n, es decir se reemplace cada
o
individuo extra´
ıdo. Sin embargo si la poblaci´n es muy grande, aunque
o
no reemplacemos los individuos extra´
ıdos las variaciones en las proporciones de la poblaci´n restante ser´n muy peque˜as y aunque de
o
a
n
hecho las probabilidades de obtener un ´xito var´ tras cada prueba,
eıen
esta variaci´n ser´ muy peque˜a y podremos considerar que son cono
a
n
stantes.Sin embargo, si la poblaci´n es peque˜a, las variaciones de la
o
n
probabilidad de ´xito con cada prueba ser´n importantes sino se dee
a
vuelve a la poblaci´n original cada sujeto extra´ .En este caso, no
o
ıdo
podremos considerar que p y q son constantes a lo largo de todo el
proceso y el n´mero de´xitos obtenidos en n pruebas ser´ una variu
e
a
able aleatoria que no seguir´ una distribuci´n binomial sino una nueva
a
o
distribuci´n que estudiaremos, m´s tarde llamada hipergeom´trica.
o
a
e
´
DEDUCCION PARA GENERAR LA DISTRIBUCION
BINOMIAL.
En estas circunstancias se aleatoriza de forma que la variable aleatoria signifique:
1

X = no de resultados A que se obtienen en las npruebas.
Se plantean dos valores con variaci´n por lo que tendremos dos par´metros
o
a
p y n, por lo que la distribuci´n binomial se explicitar´: X → B (n, p)
o
a
El campo de variaci´n de la variable ser´ 0, 1, 2, 3, . . . , n, por lo que no es
o
a
necesario comentar que es de car´cter discreto. As´ tendremos que si quera
ı
emos calcular la probabilidad de que X = 1 en n pruebas, tendr´ıamos 1
resultado A y n − 1 resultados no A por lo que la probabilidad de conseguir
un resultado A ser´ en principio, y dado que las pruebas son independientes
ıa
P (X = 1) = q · q · q · . . . · q ·p = q n−1 · p
n−1veces

Lo que ser´ correcto si el resultado A, lo fuera en la ultima prueba. Dado
ıa
´
que nos es indiferente en que prueba sea tendr´
ıamos que multiplicar esta
n
ıamos que:probabilidad por 1 . Por lo que tendr´
n

n

P (X = 1) = 1 q · q · q · . . . · q ·p = 1 q n−1 · p
n−1veces

generalizando para cualquier valor de X, quedar´ que la funci´n de cuant´
ıa
o
ıa
de la binomial tiene como expresi´n:
o
n

P (x) = x px · q n−x
´
LA DISTRIBUCION BINOMIAL ES UNA F.D.P.
Veamos ahora que B (n, p) es una f.d.p. por lo que tenemos que:
tenemos entonces que X= {0, 1, 2, 3, · · · , n} ahora teniendo en cuenta que
cada una de las n vaces este tiene un reemplazo tengo que la funcion de
distribucion de probabilidad P (X = x) = f (x) estara dada por:
 n
x=0,1,2,··· ,n
 x ·px ·qn−x ,
P (X = x) = f (x) = 0,
e, o, c

comprobemos que efectivamente f (x) es una funcion de distribucion de probabilidad. Por un lado tenemos que siempre f (x) > 0...