Distribucion Geometrica

La distribuci´n geom´trica o e Hemos visto que si se tira una moneda (con p = P (cruz)) n veces, entonces el n´mero de u cruces se distribuye como binomial. Consideramos otro experimento relacionado. Vamos a sequir tirando la moneda hasta que veamos la primera cruz ?Cu´ntas tiradas necea sitamos? Sea X el n´mero de tiradas. Luego u

P (X = 1) = P (X = 2) = P (X = 3) = . = . . P (X = x) =

p(1 − p)p (1 − p)2p . . . (1 − p)x−1p

La distribuci´n de X se llama la distribuci´n o o geom´trica. e
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Definici´n 39 Una variable X tiene una diso tribuci´n geom´trica con par´metro p si o e a P (X = x) = (1 − p)x−1p para x = 1, 2, . . . En este caso, se escribe X ∼ G(p). Teorema 14 Si X ∼ G(p), luego E[X] = 1 , p V [X] = 1−p y DT [X] = p2
1−p . p2

Ejemplo 161 Volvemos al Ejemplo 155.¿Cu´l es la probabilidad de que Ronaldo mara que por primera vez en su quinto penalti? ¿Cu´l es el n´mero esperado de penaltis que a u necesita para marcar? Sea X el n´mero de penaltis que necesita para u marcar su primer gol. Luego X ∼ G(0,8). P (X = 5) = 0,24 × 0,8 = ,00128 La esperanza de X es 1/0,8 = 1,2 penaltis.
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Ejemplo 162 En el Ejemplo 154, supongamos que se va a inspeccionarpiezas hasta encontrar la primera pieza defectuosa. ¿Cu´l es la proba abilidad de que se necesiten inspeccionar 4 o menos piezas para encontrar la primera pieza defectuosa? Sea Y el n´mero de inspecciones necesarios. u Luego Y ∼ G(0,03).

4

P (Y ≤ 4) =
y=1 4

P (Y = y) 0,97y × 0,03
y=1

=

≈ 0,115

El n´mero esperado de inspecciones necesarias u ˙ ser´ 1/0,03 = 33.3. ıa
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Preguntade examen Ejemplo 163 (junio de 2003) Andr´s y Pedro e se plantean el siguiente juego: se lanza al aire un dado equilibrado con seis caras numeradas de uno a seis. Se considera que el jugador gana cuando el resultado del dado es cuatro o seis, y recibe diez euros. En otro caso, no recibe nada. Cada apuesta (un lanzamiento) es de cinco euros. 1) Si Andr´s juega en cinco ocasiones, ¿cu´l e a es laprobabilidad de que acierte a lo sumo una vez? ¿Cu´l es el n´mero medio de aciertos en a u esas cinco ocasiones? 3) Pedro jugar´ tantas veces como sea necea sario hasta conseguir acertar una vez. Calcular la probabilidad de que tenga que jugar al menos tres veces. Obtener el n´mero medio de veces u que tiene que jugar para conseguir su objetivo. 4) ¿Cu´l ser´ el beneficio medio obtenido por a acada jugador?
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1) Sea X el n´mero de aciertos de Andr´s. u e Luego 1 X ∼ B 5, 3 5 1
1 1 2 4 = 80 ≈ 0,329. 3 3 243

P (X = 1) =

2) El n´mero medio de aciertos es 5× 1 ≈ 1,67. u 3 3) Sea Y el n´mero de jugadas necesarios. u Y ∼ G(1/3) P (Y ≥ 3) = 1 − P (Y < 3) = 1 − {P (Y = 1) + P (Y = 2)} 2 1 1 = 1− + × 3 3 3 4 ˙ = = 0,44 9 El n´mero medio de jugadas necesarias es u 1 = 3. 1/3
3504) El beneficio medio de Andr´s ser´ e ıa 5 25 × 10 − 5 × 5 = − 3 3 es decir que en promedio, Andr´s pierde 8,33 e euros. El beneficio medio de Pedro es 10 − 5 × 3 = −5 y entonces, en promedio, Pedro pierde 5 euros.

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Sucesos raros y la distribuci´n de Poisson o La distribuci´n del n´mero de “sucesos raros” o u (llamadas de tel´fono, emisiones de part´ e ıculos radioactivos, accidentes detr´fico, n´mero a u de erratas) que ocurren en un periodo fijo del tiempo (una hora, un segundo, un a˜o, una n p´gina) es la llamada distribuci´n Poisson. Esa o ta distribuci´n tiene un par´metro λ que repo a resenta el n´mero medio de accidentes por u unidad de tiempo. Definici´n 40 Una variable X tiene una diso tribuci´n Poisson con par´metro λ si o a λxe−λ P (X = x) = para x = 0, 1, 2, . . . x! Eneste caso, se escribe X ∼ P (λ).

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Teorema 15 Si X ∼ P (λ), luego E[X] = λ, √ V [X] = λ y DT [X] = λ. Ejemplo 164 El n´mero medio de erratas por u transparencia es 1,2. ¿Cu´l es la probabilidad a de que en una transparencia no haya erratas? Sea X el n´mero de erratas. Luego X ∼ P (1,2). u 1,20e−1,2 P (X = 0) = = e−1,2 ≈ 0,301 0! ¿Y la probabilidad de que haya 2 o m´s era ratas? P (X ≥...