Distribucion geometrica

distribucion geometrica
Puede ser:
1. La distribución de probabilidad del número X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un éxito contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...}
2. ladistribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.

Cual de éstas es la que uno llama "la" distribución geométrica, es una cuestiónde convención y conveniencia puesto que es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento, paraobtener la fórmula de esta distribución, haremos uso de un ejemplo.
Ejemplo:
Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras quela probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca una águila.
Solución: Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nosrepresente los 8 lanzamientos de la moneda, observaremos que la única rama de ese árbol que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sellos seguidos y por último una águila; como se muestra a continuación:S S S S S S S A
Sí denotamos;
x = el número de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra un éxito por primera y única vez = 8 lanzamientos
p = probabilidad de que aparezca unaáguila = p( éxito) = 2/3
q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3
Entonces la probabilidad buscada sería;
P(aparezca una águila en el últimolanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) =
=q*q*q*q*q*q*q*p = qx-1p
Luego, la fórmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta distribución sería;
p(X)=qx-1p
Donde:
p(x) = probabilidad de queocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez
p = probabilidad de éxito
q = probabilidad de fracaso
Resolviendo el problema de ejemplo;
x = 8 lanzamientos necesarios para que...