distribucion muestral de proporciones

Distribución muestral de
proporciones
Algunas secciones han sido tomadas de:
Apuntes de Estadística Inferencial
Instituto Tecnológico de Chiuhuahua

Distribución muestral de Proporciones

Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de
una muestra, sino que queremos investigar la proporción de personas con
cierta preferencia, etc en la muestra. La distribuciónmuestral de
proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones.
Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral
de medias, a excepción de que al extraer las muestras de la población se
calcula el estadístico proporción (p=x/n en donde “x” es el número de
éxitos u observaciones de interés y “n” el tamaño de la muestra) en
lugar de la media de cada muestraque era lo que calculamos antes.

El siguiente diagrama sirve para explicar el concepto de distribución
muestral de proporciones.

La distribución muestral de proporciones está estrechamente
relacionada con la distribución binomial; una distribución binomial es una
distribución del total de éxitos en las muestras, mientras que una
distribución de proporciones es la distribución de unpromedio (media)
de los éxitos.
Como consecuencia de esta relación, las afirmaciones probabilísticas
referentes a la proporción muestral pueden
evaluarse usando la aproximación normal a la binomial, siempre que:

np ≥ 5 y

n(1-p) ≥ 5

Una distribución binomial es, por ejemplo, si echamos una moneda al aire
y observamos el lado que cae. Está claro que sólo hay dos posibilidades.
Ahorabien, la probabilidad de que caiga la moneda de cualquier lado es
la misma siempre que ésta no esté cargada. Como cada caso tiene igual
probabilidad de ocurrir, y siendo la suma de probabilidades siempre
igual a 1, entonces la probabilidad de que caiga la moneda de algún lado
es 0.5.
Si realizamos el experimento n veces y queremos saber la probabilidad
de que salga águila o sol x veces,entonces usamos una distribución
binomial.

Generación de la Distribución Muestral de Proporciones
Suponga que se cuenta con un grupo de 12 personas, el cual tiene 4
personas con fobias. Se van a seleccionar 5 personas al azar de ese
grupo sin reemplazo. Vamos a generar la distribución muestral de
proporciones para el número de personas con fobias. Como se puede
observar en este ejercicio laproporción de personas con fobias de esta
población es
P = 4/12=1/3=0.333
Por lo que podemos decir que el 33% de las personas de este grupo
tienen fobias.
El número posible de muestras de tamaño 5 a extraer de una población
de 12 elementos es 12C5=792, las cuales se pueden desglosar de la
siguiente manera:
Personas sin
fobias

Personas con
fobias

Proporción de
Personas con
fobiasCombinaciones
posibles

1

4

4/5= 0.8

2

3

3/5= 0.6

8C2*4C3

= 112

3

2

2/5= 0.4

8C3*4C2

= 336

4

1

1/5= 0.2

8C4*4C1

= 280

5

0

0/5= 0

TOTAL

8C1*4C4

8C5*4C0

=8

= 56

792

Para calcular la media de la distribución muestral de proporciones se
tendría que hacer la sumatoria de la frecuencia por el valor de la
proporciónmuestral y dividirla entre el número total de muestras. Esto
es:

μp =

(0.8 ⋅ 8) + (0.6 ⋅112) + (0.4 ⋅ 336) + (0.2 ⋅ 280) + (0 ⋅ 56) 1
= = 0.333
792
3

Como podemos observar la media de la distribución muestral de
proporciones es igual a la proporción de la población.

μp = P

La desviación estándar de la distribución muestral de proporciones del
ejemplo se puede calculardirectamente con los datos:

σp

(0.8 − 0.33) 2 ⋅ 8 + (0.6 − 0.33) 2 ⋅112 + (0.4 − 0.33) 2 ⋅ 336 + (0.2 − 0.33) 2 ⋅ 280 + (0 − 0.33) 2 ⋅ 56
=
= 0.168
792

Sin embargo, podemos usar la distribución binomial lo cual nos da la
siguiente fórmula para la desviación estándar de la distribución
muestral de proporciones:

σp =

P (1 − P )
n

Notar que P es la
proporción de la población

pero...