Distribución Muestral de Proporciones

Distribución Muestral de Proporciones
Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de una muestra, sino que queremos investigar la proporción de personas con cierta preferencia, etc en la muestra. La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones.
Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral demedias, a excepción de que al extraer las muestras de la población se calcula el estadístico proporción (p=x/n en donde “x” es el número de éxitos u observaciones de interés y “n” el tamaño de la muestra) en lugar de la media de cada muestra que era lo que calculamos antes.La distribución muestral de proporciones está estrechamente relacionada con la distribución binomial; una distribución binomial esuna distribución del total de éxitos en las muestras, mientras que una distribución de proporciones es la distribución de un promedio (media) de los éxitos.
El muestreo puede hacerse con o sin reposición, y la población de partida puede ser infinita o finita. Una población finita en la que se efectúa muestreo con reposición puede considerarse infinita teóricamente. También, a efectos prácticos,una población muy grande puede considerarse como infinita. En todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una población de partida infinita o a muestreo con reposición. 
Consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población. Para cada muestra podemos calcular un estadístico (media, desviación típica, proporción,...) que variará de una a otra. Así obtenemos una distribución delestadístico que se llama distribución muestral.
Las dos medidas fundamentales de esta distribución son la media y la desviación típica, también denominada error típico.
Hay que hacer notar que si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande las distribuciones muéstrales son normales y en esto se basarán todos los resultados que alcancemos.
En numerosas ocasiones se plantea estimar unaproporción o porcentaje. En estos casos la variable aleatoria toma solamente dos valores diferentes (éxito o fracaso), es decir sigue una distribución binomial y cuando la extensión de la población es grande la distribución binomial B(n,p) se aproxima a la normal .
Para muestras de tamaño n>30, la distribución muestral de proporciones sigue una distribución normal

donde p es la proporción de uno delos valores que presenta la variable estadística en la población yq=1-p.
Ejemplo:

Si tiramos una moneda no trucada 100 veces, ¿cuál es la probabilidad de que obtengamos más de 55 caras?

En una moneda no trucada la proporción de caras es 0,5, con lo que p=0,5  q=0,5  n=100
La distribución muestral de proporciones se distribuye
N(0,5;0,05)
Si llamamos p' a la proporción en la muestra hemosde calcular la probabilidad 
P(p'>0,55) = P(z>1) =
=1-P(z1) = 1-0,8413 = 0,1587














Distribución Normal Estándar
Muchos métodos que se utilizan en economía, finanzas y análisis del mercado tienen como base la suposición de que la población es normal. Su importancia es que de ella depende la comprensión de muchas secciones posteriores del texto.
La distribuciónnormal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ = 0, y por desviación típica la unidad, σ =1.
Su función de densidad es:

Su gráfica es:

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura.

1. Presenta forma de campana.
2. Posee una media igual a 0.
3. Tiene una desviación igual a 1. Es muy importante que sedesarrolle la habilidad para calcular áreas (o probabilidades o frecuencias relativas) correspondientes a diversas regiones debajo de la grafica de la distribución normal estándar.


Se usa la notación N(µ; σ2
) para denotar que la variable aleatoria
X es normal con promedio µ y varianza σ2
.
• A una variable aleatoria normal Z con promedio cero y varianza
1 se le llama variable aleatoria...