Distribuciones De Probabilidad Continua

4.1 Variables Aleatorias Continuas.

Una variable aleatoria continua es una función X que asigna a cada resultado posible de un experimento un número real. Si X puede asumir cualquier valor en algún intervalo I (el intervalo puede ser acotado o desacotado), se llama una variable aleatoria continua. Si puede asumir solo varios valores distintos, se llama una variable aleatoria discreta.

Deacuerdo a Hxx=0, X se denomfvcina continua, Fx(x) es continua, Fx(x) tiene derivada fx(x) = (d/dx)Fx(x) para todo x (con la excepción de un posible número finito de valores) y fx(x) es un tramo continuo. Bajo estas condiciones, el espacio del rango Rx consistirá en uno o mas intervalos.
Una interesante diferencia con respecto al caso de variables aleatorias discretas es que para δ>0:
Px X=x= limδ→0 [Fx+δ-Fx]=0
Definamos la función de densidad, fx(x) como:
fxx= ddx Fx(x)
Y resulta que
Fxx= -∞xfx(t) dt

fx(x)
fx(x)
Px (a≤x≤b)
Px (a≤x≤b)

La figura 1.1 muestra una función de densidad que estipula una función fy definida en Ry tal que:
P e ϵ φ: a≤Xe≤b =bafxx dx
Donde e es un resultado en el espacio muestral. Solo estamos interesados en Rx y fx. Es importante darse cuentade que fx(x) no presenta la probabilidad de nada, y que solo cuando la función se integra entre dos puntos produce una probabilidad.
Algunos comentarios en torno a la ecuación:

Px X=x = limσ→0 [Fx+δ-Fx]=0

Pueden ser de utilidad, pues este resultado puede ser contrario a la intuición. Si consideramos el hecho de que permitamos a X tomar todos los valores en algún intervalo, entonces PxX=x0=0 no es equivalente a decir que el evento (X=xo) en Rx es imposible.

Recuérdese que si A=⦰, entonces Px A=0; sin embargo, el hecho de que
Px X=x0=0 y que el conjunto A={ x: x=x0 } no esta vacío indica claramente que el intervalo no es cierto.
Un resultado inmediato de lo anterior es que:
Px a≤X≤b =P a , X≤b =P a<X<b =P ( a≤X<B )
Donde X es continua, resultado de Fxb-Fx(a).4.2 Función De Densidad y Acumulativa.

La función de densidad de probabilidad, función de densidad, o, simplemente, densidad de una variable aleatoria continua es una función, usualmente denominada f(x) que describe la densidad de la probabilidad en cada punto del espacio de tal manera que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de un determinado conjunto sea laintegral de la función de densidad sobre dicho conjunto.
Consideramos una variable aleatoria X con espacio del rango
Rx={ x:0<x<∞ }, donde Y=lnX se distribuye normalmente con media μr y la varianza σ, es esto,
EY= μγ y VY=σr2
La función de densidad de X, digamos f, es:
fx= 1xσγ2πe-(12)[(lnx-μγ)/σγ]2 x>0

4.3 Valor Esperador, Varianza y Desviación Estándar.Valor Esperado.
El valor esperado es un concepto fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. Desde hace muchos años este concepto ha sido aplicado ampliamente en el negocio de seguros y en los últimos veinte años ha sido aplicado por otros profesionales que casi siempre toman decisiones en condiciones de incertidumbre.
Para obtener el valor esperado de una variablealeatoria discreta, multiplicamos cada valor que ésta puede asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego sumamos los productos. Es un promedio ponderado de los resultados que se esperan en el futuro.
Sea X una Variable Aleatoria que toma valores en un conjunto discreto (en un conjunto finito de números en uno infinito como: los naturales, los enteros o los racionales), por ejemplo sila variable aleatoria X toma los siguientes valores:
X = 0, 1, 2, 3, … n decimos que es discreta.
La probabilidad de que X tome cada uno de sus valores viene dada por la función de probabilidad:
PX = i , i = 0, 1, 2, 3,…n
Sea PX = i=pi para i = 0, 1, 2, 3,…n Se tiene que
p1+ p2 + p3 ...+ pn= 1
Se define el Valor Esperado de una Variable Aleatoria con distribución discreta como:...