Distribuciones de probabilidad continuas

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

Las variables aleatorias continuas son aquellas que pueden tomar cualquier número de valores en un segmento de recta real.
1Definicion de variable aleatoria continúa [1]
A una variable que puede tomar cualquier valor numérico dentro de un intervalo o colección de intervalos se le llama variable aleatoria continua.
ejemplo, considérese el tramo de 90millas de una carretera entre Atlanta y Georgia. Para el servicio de ambulancia de emergencia en Atlanta, la variable aleatoria es = numero de millas hasta el punto en que se localiza el siguiente accidente de tráfico en este tramos de la carretera. En este caso, es una variable aleatoria continua que toma cualquier valor en el intervalo 0≤≤90.
4.2 Función de densidad y acumulativa [2]

Lafunción de densidad de una variable aleatoria continua es una función 1(.)≥0 tal que:
px1≤X≤x2=x1x2fydy, ∀ x1,x2∈R
Nota: si X es una variable aleatoria continua, se dirá que la probabilidad de un valor cualquiera es cero, es decir. P[X=x] = 0∀x, ya que según la definición anterior, esta corresponde al área asociada a un punto, la que geométricamente es nula.
4.3Valor esperado varianza ydesviación estándar [3]
La varianza es similar a la desviación media porque se basa en la diferencia entre cada uno de los valores del conjunto de datos y la media del grupo. La diferencia consiste en que, antes de sumarlas, se eleva al cuadrado cada una de las diferencias. Para una población, se representa la varianza mediante vX o, en forma más típica, mediante la letra σ2 (que se lee “sigmacuadrada”); la formula es:
uX=σ2=-X-μ2N
Las formulas son:
Desviación estándar poblacional: σ=(X-μ)2N

Desviación estándar muestral: s=(X-X)2n-1

4.4 Distribución uniforme (continua) [4]
Una variable aleatoria X tiene distribución uniforme si y solo si su función de densidad es:
fx=1β-αsi αx)=P(N=0)= eλx(λx)0/0!=e-λx
Por consiguiente,
Fx(x)=P(X≤x)=1-e-λx,x≥0
Es la función de distribución acumulada de X. Al derivar Fx(x), se tiene que la función de probabilidad de x es
Fx(x)= λe-λx, x≥0
La obtención de la distribución de x depende solo de la hipótesis de que el numero de fallas sigue un proceso Poisson. Asimismo, el punto de partida para medir X no importa, ya que la probabilidad del numero de fallas en un intervalo de un proceso Poissondepende solo de la longitud del intervalo y no de la posición. El resultado siguiente aplica para cualquier proceso Poisson con media λ›0, tiene una distribución exponencial con parámetro λ. La función de densidad de probabilidad de x es
Fx(x;λ)=λe-λx, para 0≤x‹∞
4.6 Distribución gamma (earlang) [6]
La distribución Earlang es un caso especial de la distribución gamma. Si el parámetro r de unavariable aleatoria Earlang no es un entero, pero r>0, entonces la variable aleatoria tiene una distribución gamma. Sin embargo, en la función de densidad Erlang el parámetro r aparece como r factorial. Por tanto, para definir una variable aleatoria gamma, es necesario generalizar la función factorial.
La función gamma es:

Ejemplo: Suponga que cierta pieza metálica se romperá después desufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo.
a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio.
b. A más de dos desviaciones por encima de la media.
Solución:
X: Lapso que ocurre hasta que lapieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo, en horas.
k=2
l=2 ciclos/100 horas → l=0.02

a-) P (m-s m+s) = P (29.29

b-) P(X > m+2s) = P(X > 241.42) = 1 – P(X £ 241.42)
=


4.7 Distribucion normal

Sin lugar a dudas, la distribución mas utilizada para modelar experimentos aleatorios es la distribución normal. Esta distribución puede obtenerse al considerar el modelo básico...