Distribuciones de probabilidad

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
 
INTRODUCCIÓN
Las variables aleatorias están ligadas a experimentos aleatorios. Y se dice que se ha definido una variable aleatoria cuando a cada elemento del espacio muestral se le ha asociado un número.
Si una variable real, X,   es una variable aleatoria sus valores dependen del azar.
Por ejemplo, si se lanzan dos dados y X es el número de veces que sale un6, entonces X es una variable aleatoria, y toma, al azar, uno de los valores 0, 1 ó 2.
 El estudio de las distribuciones de probabilidad  es similar al de la variable estadística, el equivalente de la frecuencia relativa en la variable aleatoria es la probabilidad.
 
1. Variables aleatorias
Consideremos un experimento aleatorio y sea E el espacio muestral asociado, S = conjunto de sucesos
p= probabilidad asociada a cada suceso, a la terna (E, S, p) le llamamos espacio probabilístico
Definición 1. Llamamos variable aleatoria o variable estocástica, X, a toda aplicación que asocia a cada elemento del espacio muestral, E, un número real x.
Dicho de manera informal: es el valor numérico que “de alguna manera” se asigna a un suceso.
El conjunto imagen de la aplicación sellama recorrido de la variable. Suele confundirse variable aleatoria con recorrido.
Ejemplo 1. Si lanzamos tres monedas al aire y X es el número de caras que salen, los valores que toma X son 0, 1, 2 y 3.
Ejemplo 2. Si de una camada de 6 cachorros se cuenta el nº de hembras que se “obtienen” la variable aleatoria toma los valores x =0, x=1,....x =6-
Ejemplo 3. Al extraer una bombilla de una población yobservar si es o no defectuosa, X tomaría los valores 1 y 0 según sea o no defectuosa.
En los ejemplos anteriores se habla de variable aleatoria discreta (toma valores discretos)
Ejemplo 4. Si se toma como X la estatura de los soldados de un reemplazo X puede tomar todos los valores, (dentro de unos límites)
Ejemplo 5. Si se toma como variable la longitud de un tornillo X puede tomar todos losvalores de un intervalo.
En estos casos últimos se hablará de variable aleatoria continua.
Estudiaremos dos modelos de variable aleatoria: uno discreto la binomial
                                                                       otro continuo la normal
Estudiaremos en primer lugar las distribuciones discretas de probabilidad.
 
2. Función de probabilidad y de distribución
Una función deprobabilidad no es más que la asignación a cada valor de la variable de la probabilidad que le corresponde. Es decir:
Definición 2. La función de probabilidad, f, se define así: f(xi)= P(X=xi)
Ejemplo 6. En el ejemplo de la introducción:
 
f(0)=P(X =0)=p(no salga ningún 6)=, f(1)=P(X =1)=, f(2)=P(X =2)=
 
.Observación: Se verifica, al igual que con la probabilidad, que f(0)+f(1)+f(2)= 1Propiedades
Por ser una probabilidad se verifica :
1) f(xi) >0; 2) la suma de todas las f(xi) es 1, es decir 
 
Definición 3. Sea X una variable aleatoria. Se llama función de distribución, F, a la función definida  por F(x)= P(Xx)
En el caso de que X sea una variable discreta se tiene: F(x)=
F está comprendido entre 0 y 1.
Ejemplo 7. En el ejemplo anterior F(1)=P(X1)= P(no salga ningún seis,o salga un seis)= P(X=0)+P(X=1)
3. Media o esperanza de una variable aleatoria
Sea X una variable aleatoria discreta, que toma los valores x1, x2, x3.....xn con función de probabilidad f.
Definición 4. Se llama media o esperanza (o valor esperado) de X a:
E(X)=x1f(x1)+x2f(x2)+......+xnf(xn)
 
Observación. Es análoga a la definición de la media para una distribución de frecuencias.
Ejemplo8. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale un número impar gana dicho número de euros, pero si sale par entonces pierde esa cantidad en euros. Estudiar si el juego es equitativo.
Solución
Los resultados posibles xi (euros que gana o pierde al lanzar el dado) y sus respectivas probabilidades son:
 
xi | 1 | 3 | 5 | -2 | -4 | -6 |
f(xi) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
 
Los...