Distribuciones Estadistica

Distribución de bernoulli

Es un experimento aleatorio en el que sólo son posibles dos resultados: verdadero o falso. Podemos definir una variable como X que puede tomar sólo dos valores, 0 y 1 tal que:

Verdadero 1
Falso 0

Si la probabilidad de verdadero es p y la de falso 1 - p, podemos construir una función de probabilidad:
La fórmula será:

Su función de probabilidad vienedefinida por:

La esperanza y la varianza de la distribución de Bernoulli seria la siguiente:

Esperanza:

Varianza:

Ejemplo:
Se pide que en un dado salga un 6. Cuando se lanza el dado tenemos 6 posibles resultados: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (lanzar el dado una sola vez).
Se considera verdadero sacar un 6, por tanto, la probabilidad será 1/6. p= 1 / 6.
Y falso: q = 1 − p = 1 − 1 / 6 = 5 / 6La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.
P(X = 1) = f(1) = (1 / 6)1 * (5 / 6)0 = 1 / 6 = 0.1667
La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 0.
P(X = 0) = f(0) = (1 / 6)0 * (5 / 6)1 = 5 / 6 = 0.8333
En el statgraphics lo veríamos a continuación:

Distribución Beta
Ladistribución beta es posible para una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo [0,1], lo que la hace muy apropiada para modelar proporciones. En la inferencia bayesiana, por ejemplo, es muy utilizada como distribución a priori cuando las observaciones tienen una distribución binomial. Uno de los principales recursos de esta distribución es el ajuste a una gran variedad de distribucionesempíricas, pues adopta formas muy diversas dependiendo de cuáles sean los valores de los parámetros de forma p y q, mediante los que viene definida la distribución.
Esta distribución depende de dos parámetros la forma y la escala. Su fórmula es:

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución beta son:

Un caso especial de la distribución Beta con a = 1 y b = 1 esla probabilidad uniforme.

Ejemplo:
En el presupuesto familiar, la porción que se dedica a salud sigue una distribución Beta (2,2). ¿Cuál es la probabilidad de que se gaste más del 25% del presupuesto familiar en salud?
En el statgraphics lo veríamos a continuación:

Distribución Binomial

La distribución binomial tiene un valor esperado o media ( m ) y una desviación estándar ( s).Podemos representar la media de una distribución binomial de la siguiente forma:

m = n p

Donde: n= número de ensayos. P= probabilidad de éxitos.

Y la desviación de la siguiente forma:

s = Ö npq

Donde: n= número de ensayos. P= probabilidad de éxito. Q= probabilidad de fracaso.

Ejemplo:

Una máquina empaquetadora que produce 20% depaquetes defectuosos. Si se extrae una muestra aleatoria de 10 paquetes, podremos calcular la media y la desviación estándar de la distribución binomial de ese proceso en la forma que sigue:

m = np
m= 10*0.2
m= 2 Media

s = Ö npq
s=  Ö (10) (0.2) (0.8)
s= Ö 1.6
s= 1.265 Desviación estándar.

Ejemplo:

En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se respondedeclarando “verdadero” o “falso”, el alumno sabe que, históricamente, en el 75% de los casos la respuesta correcta es “verdadero” y decide responder al examen tirando dos monedas, pone “falso” si ambas monedas muestran una cara y “verdadero” si al menos hay una cruz. Se desea saber qué probabilidad hay de que tenga al menos 14 aciertos.
p(x >14)=0,6172

En el statgraphics lo veríamos acontinuación:

Distribución Binomial negativa

Es una distribución de probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal. El número de experimentos de Bernoulli de parámetro θ independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y θ. La distribución geométrica es el caso concreto de la...