Distribuciones muestrales

Estadística II
Prof. Edmundo Peña Rozas

1
Sesión 06
Distribuciones Muestrales

I.- OBJETIVOS DE LA SESIÓN:





Definir la distribución muestral de la media.
Definir la distribución muestral de la varianza.
Definir la distribución muestral de una proporción
Calcular probabilidades para la media, varianza y proporción muestral

II. TEMA
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE UN PROMEDIOMUESTRAL
(con varianza poblacional conocida)
El teorema del límite central es uno de los teoremas más importantes en Estadística, no sólo desde el
punto de vista teórico sino que también por su trascendencia en los métodos estadísticos. En
esencia, este teorema indica que si una población tiene varianza finita σ2 y media μ, sin importar
cuál sea la distribución original de la población, amedida que n aumenta, la distribución de la
media de la muestra tiende a una distribución normal con varianza σ2 /n y media μ. Lo anterior
expresado en términos estadísticos es equivalente a decir:
2
Si X ~ f ( x, μ, σ2)  X ~ N   ,  


n

Al estandarizar esta variable, se tiene:

x





n

 Z ~ N (0,1)
n 

n

Ejemplo: Una máquina vendedora de refrescos estáprogramada para que la cantidad de refrescos
que sirve sea una variable aleatoria con una media de 200 mililitros y una desviación estándar de 15
mililitros. Cuál es la probabilidad de que la cantidad media de refresco servido en una muestra
aleatoria de 36 refrescos sea por lo menos 204 mililitros
Solución:
  200

  15 n  100

¿ P( X  204) ?




x 
  1  P Z  204 200 
P( X  204)  1  P( X  204)  1  P Z 



 n
15 36 




4 
4 

  1  P Z 
 1  P Z 
  1  PZ  1.6  1  0.9452  0.0548

15 6 
2.5 




Ejemplo: Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye
aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas.
Encuentre laprobabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de
menos de 775 horas.

04/09/2013

Estadística II
Prof. Edmundo Peña Rozas

2

Solución:



x 
  P Z  775  800 
P X  775  P Z 



40 4 
 n



 PZ  2.5  0.0062

La probabilidad de que la media de la muestra de 16 focos sea menor a 775 horas es de 0.0062.
Ejemplo:Suponer que el número de barriles de petróleo producidos por un pozo durante un día es
una variable aleatoria no especificada, con media  y varianza  2  256 . Se observa la producción
durante 64 días, en forma aleatoria. Encontrar la probabilidad de que la media muestral esté a no más
de cuatro barriles del verdadero valor de la producción por día.
Solución:
Para n lo suficientementegrande, la distribución de X es aproximadamente normal con media

 y

varianza  2 / n  256 / 64  4 . Ahora, lo que se pide es obtener la probabilidad siguiente:





P X    4  P  4  X    4   P    4  X    4 





  4 X   4 
 4
4 
 P


Z
  P




 


 




n
n
n 
n

 n
4
 4
 P
 Z   P  2  Z  2   0.9544
2
 2
Es decir, la probabilidad de que la media muestral esté a no más de 4 barriles de la verdadera media
poblacional es 0.9544.
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE UN PROMEDIO MUESTRAL
(con varianza poblacional desconocida)
Cuando la varianza de la población es desconocida, situación que se da con mucha frecuencia, es
preciso utilizar la información que nos provee lamuestra respecto de este parámetro y estimar la
desviación estándar, utilizando alguna de las siguientes expresiones:
k

n

s2 

 ( x i  x) 2

i 1

n 1

s2 

_

 ( x i  x) 2 n i

i 1

n 1

En esta situación, el teorema central del límite puede ser expresado de la siguiente manera: “si una
población se distribuye normal con varianza desconocida y media μ, la...