Distribuciones

Distribuciones de variable discreta
Ensayos y distribución de Bernoulli.-
Hay muchos experimentos que tienen solo dos resultados posibles, llamados éxito “E” o fracaso “F”. Luego, el espacio muestral para este tipo de ensayo es Ω= [E, F].
Un experimento con esta característica se llama un ensayo de Bernoulli.
Se define la variable aleatoria X de tal manera que X (W)= “numero de éxitos de unensayo de Bernoulli”.
R (X)= {0, 1}
Es decir:
X (F)= 0 “si el resultado es un FRACASO”
X (E)= 1 “si el resultado es un EXITO”
Las probabilidades se denotan por:
P= P (E) y q= 1-P = P (F) p+q=1
La distribución de Bernoulli es:
x | 0 | 1 |
P(x) | 1-p=q | p |
La distribución de Bernoulli también puede escribirse como una función de probabilidad
P(x) = P [X=x]

= px (1-p) 1-x, X={0,1}
Esperanza y Varianza de una variable aleatoria de Bernoulli
µ = E(x)= 0*q + 1*p = p
Ϭ2 = Var(x)= E(x2) + E2(x) = 02 *q + 12 *p – p2 = p – p2 = p* (1 - p) = p*q.
Hay muchos experimentos que consisten de n ensayos de Bernoulli (E1, E2,…, En). Se dice que una secuencia de n ensayos iguales de Bernoulli, forman un proceso de Bernoulli o experimento Binomial si se cumple:
(a) Cada ensayotiene solo dos resultados posibles
(b) Los ensayos son independientes unos de otros, es decir el resultado (éxito o fracaso) de cualquier ensayo no depende de ningún otro ensayo
(c) Las probabilidades de éxito p y fracaso q, permanecen constantes de ensayo a ensayo.
Distribución Binomial.-
La distribución binomial es una distribución de probabilidad que mide el número de éxitos en unasecuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
La variable aleatoria X está definida como X (w)= el numero de éxitos de n ensayos de Bernoulli
Su función de probabilidad es:
PX=x=nxpxqn-x

Donde X= {0, 1, 2,…., n}
Siendo:
nx= n!x!*n-x!
Las combinaciones de n en x(n elementos tomados de x en x)Características de la distribución binomial:
Al ser p la esperanza de una variable de Bernoulli y las variables binomiales son n veces variables de Bernoulli la esperanza de una variable binomial estará dada por:
µ = E(x)= n*p
Sucede exactamente lo mismo con la Var(x)
Var(x) = n*p*q
Ejemplo:
Se lanza un dado 10 veces. Calcular la probabilidad de obtener 4 veces 6.
La variable aleatoria X = número deveces que aparece el número 6 en los 10 lanzamientos del dado.

Definimos:
E = “obtener un seis al lanzar un dado” p (E)= p = 16
F= “obtener un numero diferente de 6” P (F)= q = 56
Se lanza el dado 10 veces (n = 10) cada lanzamiento puede considerarse con solo dos resultados posibles E y F. Las probabilidades de E y F permanecen constante en cada ensayo. El resultado de cualquier ensayoes independiente de los otros. Por lo tanto, X es una variable aleatoria binomial y su distribución de probabilidad es:
PX=xB;10,16= 10x16x5610-x
Debemos calcular:
PX=4B;10,16= 1041645610-4=7*5769=0.0542

E(x) = 10*16 = 1.66
Var(x)= 10*16*56=1.388
Distribución geométrica o de Pascal.-
La distribución geométrica esta también relacionada con un proceso de Bernoulli, excepto que el número deensayos no es fijo. Consideremos entonces una sucesión de ensayos de Bernoulli. Definimos la variable aleatoria X de la siguiente manera,
X = “numero de ensayos requeridos hasta obtener el primer éxito”
P (1) = PX=1=PE=p
P (2) = PX=2=PFE=pq
P (3) = PX=3=PFFE=pq2
Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que n ensayos sean necesarios para obtenerun éxito es
p(x)=PX=x= pqx-1
Características de la distribución geométrica:
µ = E (x) = 1p
Var(x) = qp2
Ejemplo
La probabilidad de éxito al lanzar un cohete es 0.8 suponga que el ensayo del lanzamiento a ocurrido.
Cuál es la probabilidad que sea necesariamente 6 ensayos?
Sea X la variable aleatoria definida por X= numero de ensayos hasta que el cohete sea lanzado con éxito.
La variable...