Distribuciones

´ ´ CURSO DE METODOS DE LA F´ ISICA MATEMATICA ´ ANALISIS FUNCIONAL

H. FALOMIR DEPARTAMENTO DE F´ ISICA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS - UNLP

NOTAS SOBRE TEOR´ DE DISTRIBUCIONES IA

1.

El espacio K

Al considerar el espacio de las funciones continuas en [a, b], hemos visto que ciertas funcionales lineales resultan continuas respecto de la convergencia uniforme, pero no respecto de laconvergencia en media. Similarmente, al estudiar el completamiento de ese espacio respecto de la distancia derivada de la convergencia en media, hemos visto que ciertas funcionales lineales que es posible definir sobre C2 (a, b) ya no tienen sentido sobre L2 (a, b). De ese modo, al ampliar el conjunto de las funciones consideradas, o al relajar el sentido de convergencia, ocurre una reducci´n en elconjunto de funcionales o lineales y continuas que es posible definir sobre ese espacio. En particular, toda funcional lineal y continua (acotada) en L2 (R) est´ un´ a ıvocamente asociada con el producto escalar por un vector fijo de ese mismo espacio. En esa condiciones, es vez de intentar incrementar a´n m´s el conjunto de funu a ciones relajando las condiciones que sobre ellas pesan, o de relajarel sentido de convergencia en ese espacio (con la consiguiente reducci´n del conjunto de funo cionales), podemos asignar a las funcionales lineales y continuas un sentido de funciones generalizadas e imponer fuertes restricciones sobre el espacio de funciones, buscando incrementar el conjunto de esas funcionales.
Actualizado el 5 de febrero de 2008.
1

2

H. Falomir

Por ejemplo, podemostrabajar sobre el espacio m´trico KN , formado por el e conjunto de las funciones de soporte1 compacto y con derivadas continuas hasta
N el orden N , C0 (R), estructurado con una distancia que implica la convergencia

uniforme de las N primeras derivadas de toda secuencia convergente, ρN (ϕ, ψ) := maxx∈R {| ϕ(x) − ψ(x) | + | ϕ (x) − ψ (x) | + (1.1) + · · · + | ϕ(N ) (x) − ψ (N ) (x) | . N´teseque, como conjuntos, KN ⊂ KM si N > M , mientras que toda secuencia o convergente en KN tambi´n lo es KM . e En lo que sigue, estaremos interesados en la intersecci´n de todos esos espacios, o K =
N

KN , donde no podremos definir una distancia, pero s´ un sentido de ı

convergencia compatible con ρN (ϕ, ψ) para todo N ∈ N. El conjunto de las funciones que tienen derivadas continuas de todoorden y se anulan id´nticamente fuera de un intervalo de longitud finita2 constituye el espacio e
∞ ∞ lineal C0 (R). Como sabemos, C0 (R) es denso en L2 (R). En ese sentido, se puede ∞ decir que L2 (R) es el completamiento de C0 (R) respecto de la distancia derivada

de la norma || ||2 . En ese espacio lineal introducimos el siguiente sentido de convergencia.
∞ Definici´n 1.1. Diremos que lasucesi´n {ϕn (x)} ⊂ C0 (R) converge a la funci´n o o o ∞ ϕ(x) ∈ C0 (R) si:

∃ un intervalo de longitud finita [a, b] fuera del cual las funciones ϕ(x) y {ϕn (x)} se anulan id´nticamente, e ∀k ∈ N, la secuencia de derivadas de orden k, {ϕn (x)} converge uniformemente a la correspondiente derivada del l´ ımite, ϕ(k) (x). As´ estructurado, ese espacio lineal se denota por K, y es llamado espacio b´sicoı a o de funciones de base o de prueba (test-functions). N´tese que tanto la derivaci´n, como la multiplicaci´n por funciones en C ∞ (R) y o o o las traslaciones sobre la recta, dejan invariante al espacio K. En efecto, ∀ ϕ(x) ∈ K
1El (k)

soporte de una funci´n ϕ(x) (definida en casi todo punto), Sop(ϕ(x)), es la clausura del o

conjunto de puntos donde la funci´n toma valores no nulos. o 2Elsiguiente ejemplo muestra que tales funciones existen: (1.2) −1 −1 (x − a)2 e (x − b)2 , for a < x < b, ϕ(x) = e ϕ(x) ≡ 0, para x ∈ (a, b) .

Teor´ de distribuciones ıa

3

tenemos que ϕ (x) ∈ K , (1.3) α(x)ϕ(x) ∈ K , ∀ α(x) ∈ C ∞ (R) , ϕ(x + h) ∈ K , ∀ h ∈ R . Puede mostrarse f´cilmente que todas esas operaciones son continuas respecto a del sentido de convergencia adoptado. Por...