Ditribuciones continuas

Universidad Autónoma de Nuevo León

Facultad de ingeniería mecánica y eléctrica

Huesca

Salón: 4205 Hora: V6

Probabilidad y Estadística
Prof. Ing. Berenice Wendoline Alemán Pérez

Distribuciones Continuas

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

Distribución Normal
La distribución continua de probabilidad más importante en todo el campo de la estadística es la distribución normal. Sugráfica que se denomina curva normal, es la curva con forma de campana, la cual describe aproximadamente muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación. Las mediciones físicas en áreas como los experimentos meteorológicos, estudios de lluvia y mediciones de partes fabricadas a menudo se explican más que adecuadamente con una distribución normal. Además los errores enlas mediciones científicas se aproximan extremadamente bien mediante una distribución normal.
Propiedades de la curva normal

* La moda que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva es un máximo, ocurre en x = µ.
* La curva es simétrica alrededor de un eje vertical a través dela media µ.
* La curva tiene sus puntos de inflexión en x = µ ± σ, es cóncava hacia abajo si µ - σ< X < µ + σ
* Y es cóncava hacia arriba en cualquier punto.
* La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica conforme nos alejamos de la media en cualquier dirección.
* El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 0.

Ejemplo:
La resistencia al rompimiento (en newtons) de una tela sintética, denotada por X, se distribuye en N (800, 144).El comprador de la tela requiere que esta tenga una resistencia de por lo menos 772 N. Se seleccionan al azar y se prueba una muestra de tela. Para encontrar P(X ≥ 772), calculamos primero
x = 772µ = 800σ2 = 144 σ = 12
PX<772=PX-μσ<772-80012
=PZ<-2.33

=-2.33

Ubicamos en la tabla de la curva normal en el lado izquierdo de la tabla esta z en -2.3 y del lado derecho en .03 ahíse ubica .0099.

Lo siguiente es restar .0099 a 1.

1 - .0099 = .99





Distribución ji cuadrada
Muchas otras distribuciones útiles de muestreo pueden definirse en términos de variables aleatorias normales. Sea Z1, Z2,…, Zk variables aleatorias distribuidas normal e independientemente, con medida µ = 0 o varianza σ2 =1. Entonces la variable aleatoria

X2 =Z12+ Z22+…+ZK2

Tienela función de densidad de probabilidad

fx2u=uk2-1e-u22k2 Γk2 u>0=0

Y se dice que sigue la distribución ji cuadrada con k grados de libertad, en forma abreviada X 2k
La medida y la varianza de la distribución X2k son:
µ = k
Y
σ2 = 2k
Una estadística que síguela distribución ji cuadrada, supóngase que X1, X2,……,Xn es una muestra aleatoria de una población normal, conmedia µ y varianza σ2 .La función de la varianza de la muestra
n-1S2σ2

se distribuye como X2n-1. Para ilustrar heurísticamente porque la distribución de muestreo de la estadística (n – 1) S2/ σ2 es ji-cuadrada, nótese que

n-1S2σ2= i=1n(Xi - μ)2σ2

Ejemplo.
1. Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman unadistribución normal con una desviación estándar σ=1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.
Solución:
Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

X2=N-1S2σ2=17-1212=32
El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que aeste valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P (S2>2)

















Distribución T Student
Como un ejemplo de una variable aleatoria que síguela distribución t supóngaseque X1,X2,…,Xn es una muestra aleatoria de una distribución normal con medida µ y varianza σ0, y sean Ẋ y S2 la media y la...