divergencia de un campo vectorial

Divergencia de un campo vectorial
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumenalrededor del punto tiende a cero:

donde es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El símbolo representa el operador nabla.
Esta definición está directamente relacionada conel concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. Elejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico.
Se llamanfuentes escalares del campo al campo escalar que se obtiene a partir de la divergencia de

La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teoremade la divergencia.
[editar]Coordenadas cartesianas
Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas,

el resultado es sencillo:[editar]Coordenadas ortogonales
Sin embargo, para un caso más general de coordenadas ortogonales curvilíneas, como las cilíndricas o las esféricas, la expresión se complica debido a la dependencia de losvectores de la base con la posición. La expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es:

Donde los son los factores de escala del sistema de coordenadas, relacionados con la forma deltensor métrico en dicho sistema de coordenadas. Esta fórmula general, para el caso de coordenadas cartesianas ( ) se reduce a la expresión anterior.
Para coordenadas cilíndricas ( ) resulta:

Paracoordenadas esféricas ( ) resulta





Operador laplaciano en diversos sistemas de coordenadas
[editar]Coordenadas cartesianas
En coordenadas cartesianas (plano) bidimensionales, el laplaciano...