Divergencia En Coordenadas Cilíndricas

Repaso de Análisis Vectorial-Introducción al Electromagnetismo
REPASO A ALISIS VECTORIAL
Ejercicio.
Deduzca la expresión de la divergencia de un vector en coordenadas Cilíndricas.
Solución:
Seaun campo vectorial especificado en coordenadas cilíndricas.
ˆ
ˆ
ˆ
A = rAr + ϕ Aϕ + kAz
Supondremos que todas las componentes del campo son funciones de las tres
coordenadas:
 Ar ( r , ϕ , z )
A R ⇒  Aϕ ( r , ϕ , z )

 Az ( r , ϕ , z )
i)Deducción del operador Nabla en coordenadas cilíndricas por manipulación del
gradiente.

()

Consideraremos una función potencial, estaposee un diferencial total exacto.
F ( r , ϕ , z ) → Función Potencial
Diferencial Total Exacto → dF =
Donde : dF = ∇F d ℓ

∂F
∂F
∂F
∂r +
∂ϕ +
∂z
∂r
∂ϕ
∂z

∇F se lee ⇒ gradiente de F

ˆˆ
ˆ
Con : d ℓ = r∂r + ϕ r ∂ϕ + k ∂z

{

}{

∂F
∂F
∂F
ˆˆ
ˆ
ˆ
∂r +
∂ϕ +
∂z = grad ( F )  r r + grad ( F ) ϕ ϕ + grad ( F )  z k r ∂r + ϕ r∂ϕ + k ∂z
ˆ
ˆ

∂r
∂ϕ
∂z

}

Paracumplir con la igualdad será necesario que cada una de las componentes del
gradiente adopten las siguientes expresiones:
Entonces
grad ( F )  r =


∂F
1 ∂F
∂F
; grad ( F ) ϕ =
; grad ( F)  z =


∂r
r ∂ϕ
∂z

Por lo tanto: ∇F =

1 ∂F
1∂
∂F
∂F ˆ
∂
∂ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
r+
k⇒ ∇=
r+
ϕ+
ϕ+ k
r ∂ϕ
r ∂ϕ
∂r
∂z
∂r
∂z

Ahora si podemos definir al operador Nabla enCoordenadas Cilíndricas:

∇=

∂
1∂
∂ˆ
ˆ
ˆ
r+
ϕ+ k
r ∂ϕ
∂r
∂z

ii)Obtención de una expresión para la divergencia en coordenadas cilíndricas.
ˆ
ˆ
ˆ
Sea un campo vectorial A = rAr + ϕ Aϕ +kAz
Si aplicamos el operador gradiente sobre el campo, y operando con extremo cuidado,
esto es aplicando la definición de la operación planteada, nos quedará:

1

Repaso de AnálisisVectorial-Introducción al Electromagnetismo

∂
1∂
∂ ˆ
ˆ
ˆ
r+
ϕ + k
ˆ
ˆ
r ∂ϕ
∂r
∂z  ⇒ ∇. A =  r ∂ + ϕ 1 ∂ + k ∂  .  rAr + ϕ Aϕ + kAz 
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ

r ∂ϕ
∂z  
 ∂r

ˆ
ˆ
ˆ
A = rAr...