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Valor absoluto
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En matemática, el valor absoluto o módulo[1] de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextosmatemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Gráfica de la función valor absoluto.
Contenido[ocultar] * 1 Valor absoluto de un número real * 1.1 Propiedades fundamentales * 1.2 Otras propiedades * 2 Valor absoluto de unnúmero complejo * 2.1 Propiedades * 3 Programación del valor absoluto * 4 Notas * 5 Referencias * 6 Enlaces externos |
[editar] Valor absoluto de un número real
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:[2] ejemplos basicos:

Note que, por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Desde un punto devista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia.donde a la distancia a lo largo de la recta numérica real[editar] Propiedades fundamentales
| No negatividad |
| Definición positiva |
| Propiedad multiplicativa |
| Propiedad aditiva |
[editar] Otras propiedades
| Simetría |
| Identidad de indiscernibles |
| Desigualdad triangular |
| (equivalente a la propiedad aditiva) |
| Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa) |
Otras dos útilesinecuaciones son:
*
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Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:
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[editar] Valor absoluto de un número complejo

El valor absoluto de un número complejo es la distancia desde al origen. Aquí vemos que y su conjugado tienen el mismo valor absoluto.
Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de losreales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:

De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma

con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:

Como los números complejos son una generalización de los númerosreales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:

De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dosnúmeros complejos es igual a la distancia entre ellos.
[editar] Propiedades
El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si

y

es el conjugado de z, entonces se verifica que:

Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección.
Como los números realespositivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.
[editar] Programación del valor absoluto
En programación, la función matemática utilizada comúnmente para calcular el valor absoluto es abs(). Esta se utiliza en los lenguajes de programación...