Divisibilidad Por 7

MÉTODO RÁPIDO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES MÚLTIPLO DE 7
M. Sc. Gustavo Gerald Toja Frachia (IME - USP)                  gtojafrachia@aol.com
Para explicar el método consideremos el siguientemúltiplo de 7.
38.391.787
Separémoslo en pares de dígitos de la derecha para la izquierda
38    39    17    87
Consideremos la diferencia entre cada par de dígitos y el múltiplo de 7 más próximo,mayor (menor) para el último par, menor (mayor) para el penúltimo y así sucesivamente, alternando para cada nuevo par:
               4            4 (21-17)
             38   39   17   87                       4             3 (87-84)

Los dígitos resultantes, leídos de la derecha para la izquierda forman el número 3.444.
 
Procedamos de la misma forma con los números resultantes
             1          34    44
                     2
El resultado final, leído de la derecha para la izquierda es 21, que es múltiplo de 7.
Por lo tanto, el número original es múltiplo de 7.
OTRO EJEMPLO
Observe como elmétodo es rápido
Considere el número de 15 dígitos 531.898.839.909.822

2            2             3             0
5   31   89   88   39   90   98   22       3             4            6             1

Ahora tenemos 10.634.232

  4             0
10   63   42   32
          0             4

y ahora 4.004
  2
40   04
          4

Que nos da 42, un múltiplo de 7.
Necesitamos apenas de tres pasos para un número de 15 dígitos. 
POR QUE ESTE METODO FUNCIONA
 
Vamos a probar la validad de este método.
Alexander Bogomolny probó que el método también puede ser usado para verificar la divisibilidad por 11 y por 13.
Sea A= 0 (mod7)   (esto significa que A es un múltiplo de 7)
e D el número obtenido por las diferencias di consideradas en orden contraria.
                                   k
D = d0d1d2....dk = [  Σ10k-i di ]
                                  i = 0
Recordemos que (vea la prueba de  Alexander Bogomolny ):
1) Si 7 divide A,...