Divisibilidad

Divisibilidad
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En matemáticas, se dice que un número entero b es divisible entre un entero a (distinto de cero) si existe un entero c tal que: b = a · c. Esto es equivalente a decir que b es «exactamente divisible» por a, o bien, que el resto de la división euclídea es cero.
Se suele expresar de la forma a|b, que selee: «a divide a b», o «a es un divisor de b» o también «b es múltiplo de a». Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c, es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.
Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dosdivisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.
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Se denomina factor o divisor propio de un número entero n, a otro número también entero que es divisor de n, pero diferente a n . Por ejemplo, 7 es factor propio de 42 porque 42/7 = 6.
Casos especiales: 1 y -1 son factores triviales de todos los enteros, y cadaentero es divisor de 0. Los números divisibles por 2 son llamados pares y los que no lo son se llaman impares.
[editar]Propiedades

Sean , es decir , y son números enteros. Tenemos las siguientes propiedades básicas:
(Propiedad Reflexiva).
Si y , entonces (Propiedad Transitiva).
Si , entonces .
Si y , entonces .
Si y , entonces
Si y , entonces .
Si y , entonces .
Para , si y sólosi
Si y , entonces .
Si y cumple que y , entonces .
Como y se tiene que y para todo entero. Si no es divisible por escribimos . Notemos que para todo distinto de cero, pues para todo entero.
[editar]Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división:Número Criterio Ejemplo
2 El número termina en cero o cifra par (el cero se considera par). 378: porque la última cifra (8) es par.
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.
4 El número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de 4 o cuando termina en doble cero. 7324: porque 24 es múltiplo de 4.
5 La última cifra es 0 ó 5. 485: porque acabaen 5.
6 El número es divisible por 2 y por 3. 24: Ver criterios anteriores.
7 Un número es divisible entre 7 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 7. 34349: separamos el 9 (3434'9)y lo doblamos (18), entonces 3434-18=3416. Repetimos el proceso separando el 6 (341'6) y doblándolo (12),entonces 341-12=329, y de nuevo, 32'9, 9*2=18, entonces 32-18=14; por lo tanto, 34349 es divisible entre 7 porque 14 es múltiplo de 7.
8 El número formado por las tres últimas cifras es un múltiplo de 8. 27280: porque 280 es múltiplo de 8.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9. 3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.
10 La última cifra es 0. 470: termina en cifra 0.
11 Sumando lascifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste.
Si el número tiene dos cifras será múltiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.
42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 42702 es múltiplo de 11

66: porque las dos cifras son iguales.Entonces 66 es Múltiplo de 11
12 El número es divisible por 3 y 4. 528: Ver criterios anteriores.
13 Un número es divisible entre 13 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 9 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 13 3822: separamos el último dos (382'2) y lo multiplicamos por 9, 2*9=18, entonces 382-18=364. Repetimos el...