Division De Segmento En Una Razon Dada

TEMA 3 :División de un segmento en una razón dada
¿Que es la razón?
Es la manera de comparar dos cantidades a través de un cociente

Conociendo las coordenadas del punto P1 ( X1 , Y1 ) y las coordenadas del punto
P2 ( X2 , Y2 ), Hallese la coordenadas de un tercer punto P ( X , Y ) que divide el
segmento P1 , P2 de tal modo que la razón.
= P1 P

Y

P P2

P2 ( X ,Y )
2

2

r = P1P
PP2

n

r= m
nY2 - Y

m

P ( X,Y )
Y - Y1

P1

( X1,Y1)

X - X1

X2 - X

X

X´
Y´

En el caso especial donde el punto P ( X , Y ) divide el segmento P1P2 por la
mitad se tiene P1P = PP2
P1 P = m = r =1
P P2 n

P ( X , Y ) Punto Medio

Las formulas para encontrar el punto medio Pm de un segmento
X= X1+X2
2

r=1
Y= Y1+Y2
2

Ejemplos:
1

Encontrar el punto medio Pm del segmento determinado por los puntosexternos
P1 ( 2 , 5 ) y P2 ( 6 , 2 )
X1

Y1

X2

Y2

X= X1+X2
2

X= 2+6
2

X= 8
2

X= 4

Y= Y1+Y2
2

Y= 5+2
2

Y= 7
2

Y= 3.5

Y

Pm ( 4 , 3.5 )

P1 ( 2 , 5 )
5
4

Pm ( 4 , 3.5 )

3

(6,2)

2

P2

1

X´

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0
-1
-2
-3
-4
-5
-6

Y´

1

2

3

4

5

6

7

8

9

X

2

Determinar el punto medio Pm del segmento determinado por los puntos externos
P1 ( -7 , 3 ) y P2 ( 1 , -6 )
Y1X1

X2

Y2

X= X1+X2
2

X= -7+1
2

X= -6
2

Y= Y1+Y2
2

Y= 3+-6
2

Y= -3
2

X= -3
Pm ( -3 , -1.5 )
Y= -1.5

Y
5
4

P1 ( -7 , 3 )

3
2
1

X´

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

( -3 , -1.5 )

Pm

-2
-3
-4
-5
-6

Comprobación
P1 ( -7 , 3 )
Pm ( -3 , -1.5 )
Y1

X1

Y2

X2
2

d= ( X2 - X1) + ( Y2 - Y1)
2

P2

Y´
Pm ( -3 , 1.5 )

2

2

2

2

2

2

d= (4) + ( -4.5 )

2

2

d=(4) + ( -4.5 )

d= (4) + ( -4.5 )

2

d= ( 1 - -3) + ( -6 - -1.5)

2

Y2

X2

d= ( X2 - X1) + ( Y2 - Y1)

2

d= (4) + ( -4.5 )

P2 ( 1 , -6 )

Y1

X1

2

2

d= ( -3 - -7) + ( -1.5 - 3)

( 1 , -6 )

d= (16) + ( 20.25 )

d= (16) + ( 20.25 )

d= (36.25)

d= (36.25)

d= 6.02u

d= 6.02u

2

9

X

3

Determinar el punto medio Pm del segmento determinado por los puntos externos
A ( -5.4 , 6 ) y B ( -2 ,-6.2 )
Y1

X1

Y2

X2

X= X1+X2
2

X= -5.4+-2 X= -7.4
2
2

Y= Y1+Y2
2

Y= 6+-6.2
2

Y

A ( -5.4 , 6 )

X= -3.7
Pm ( -3.7 , -0.1 )
Y= -0.1

Y= -0.2
2
6
5
4
3
2
1

(-3.7 ,-0.1 )

X´

-8

-7

-6

-5

-4
Pm

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-1
-2
-3
-4
-5
-6

B

( -2 , -6.2 )

Y´

Comprobación
A ( -5.4 , 6 )
Pm ( -3.7 , -0.1 )
Y1

X1

2

d= ( X2 - X1) + ( Y2 - Y1)
2

2

Pm ( -3.7 , -0.1)

B (-2 , -6.2 )

Y1

X1

d= ( X2 - X1) + ( Y2 - Y1)
2

2

2

d= ( -2 - -3.7) + ( -6.2 - -0.1)
2

Y2

X2

2

2

d= ( -3.7 - -5.4) + ( -0.1 - 6)
2

Y2

X2

2

d= (1.7) + ( -6.1 )

d= (1.7) + ( -6.1 )

d= (2.89) + ( 37.21 )

d= (2.89) + ( 37.21 )

d= (40.1)

d= (40.1)

d= 6.33u

d= 6.33u

.

2

9

X

4

Encontrar las coordenadas de lo puntos medios de los lados del triangulo cuyos
vértices son A ( 4,-4 )B ( 10,4 ) C(2,6)
El segmento que une un vértice de un triángulo con el punto medio del lado
opuesto se llama MEDIANA

Y

C ( 2,6 )

6

El punto de intersección de
las medianas se llama
BARICENTRO

E (6,5)

5

B ( 10 , 4 )

4
3

P
2

F

1

X´

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

( 3,1 )

0

1

2

3

D (7,0)
4

5

6

7

-1
-2
-3

A ( 4 , -4 )

-4
-5

Y´
El punto medio del lado AB es: A ( 4,-4 )
X1 Y1X= X1+X2
2
Y= Y1+Y2
2

X= 4+10
2
Y= -4+4
2

X= 14
2
Y= 0
2

B ( 10,4 )
X2 Y2

X= 7
Y= 0

Pm D (7,0 )

El punto medio del lado BC es: B ( 10,4 ) C(2,6)
X1 Y1

X= X1+X2
2
Y= Y1+Y2
2

X= 10+2
2
Y= 4+6
2

X= 12
2
Y= 10
2

X2 Y2

X= 6
Y= 5

Pm E (6, 5)

El punto medio del lado BC es: C(2,6) A ( 4,-4 )
X1 Y1

X= X1+X2
2
Y= Y1+Y2
2

X= 2+4
2
Y= 6+-4
2

X= 6
2
Y= 2
2

X2 Y2

X= 3
Y= 1

Pm F (3,1 )

8

910

X

Las tres medianas se interceptan en un punto llamado baricentro
Esta localizado a un tercio de la suma de las abscisas de los vértices del triangulo
y a un tercio de la suma de las ordenadas de los vértices.
Las coordenadas de baricentro son:
X= X1+X2+X3
3
Y= Y1+Y2+Y3
3

X= 4+10+2
3
Y= -4+4+6
3

X= 16
3
Y= 6
3

X= 5.33
Y= 2

Baricentro P (5.33,2 )

Ejercicios
1

Encontrar el punto medio...