La noción de razón en la división de un segmento rectilineo

LA NOCIÓN DE RAZÓN EN LA DIVISIÓN DE UN SEGMENTO RECTILINEO
La idea básica es ver cuántas veces cabe un segmento en otro, pudiendo enfocarla de dos formas, una es comparar una parte del segmento con otro y la otra comparar una parte del segmento con el todo; aunque las fórmulas resulten diferentes, según el planteamiento el resultado final es el mismo, es decir, determinar las coordenadas quedividen al segmento según la razón dada. Consideremos que P es un punto sobre un segmento que lo divide en dos partes.


En esta figura queremos conocer la relación que guarda el segmento AP con respecto al segmento PB, comparando sus longitudes por cociente obtenemos que:


Es decir, la razón se define como la distancia del punto A hasta el punto de división P, hasta el puntofinal B, recordando que el segmento s dirigido. A continuación deduciremos la fórmula para hallar el punto de división de un segmento cuando nos den una razón. Grafiquemos los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), que definen el segmento AB, siendo P(x, y) el punto de división, con lo cual determinaremos las ecuaciones que permiten hallar las coordenadas del punto de división de un segmento.Llamemos A’, P’ y B’ a las proyecciones de los puntos A, P y B sobre el eje X. Sabemos por el Teorema de Tales, que rectas paralelas determinan segmentos proporcionales en cualquier transversal que las corte, por lo cual tenemos que:

Siendo:

Sustituyendo, obtenemos:


Despejando para x, resulta:



Donde r debe ser distinto de -1.

Si proyectamos sobreel eje Y, y repetimos los pasos anteriores, obtendremos:


En resumen, tenemos que, para calcular las coordenadas del punto que divide a un segmento formado por los puntos P1( x1, y1 ) y P2( x2, y2 ) de acuerdo a una razón dada r, se emplean las ecuaciones:



Donde r ≠ -1


Ejemplo:

Determina las coordenadas del punto P que dividen al segmento de recta cuyos extremosson A( -2, 6) y B(7, 3), en la relación o razón de 1/2. Mediante una gráfica o más de una justificar su respuesta.


Aquí A tiene coordenadas ( x1, y1 ) y B,( x2, y2 ), entonces, sustituyendo:


Estos resultados son las coordenadas "x" y "y" del punto P, que dividen al segmento en la razón 1/2. La gráfica será:


Ahora comprobemos si efectivamente, el cociente de los dos segmentos es1/2, para ello calculemos las distancias entre los puntos AP y PB, mediante la fórmula de distancia entre dos puntos.

Primero calculamos la distancia entre los puntos A(-2, 6) y P(1, 5).



Ahora calculemos la distancia entre los puntos P(1, 5) y B(7, 3)





Al principio del ejercicio, vimos que la razón era r = 1/2, por lo tanto, tenemos que dividir los resultados de lasdistancias anteriores y verificar que el cociente entre ellas sea 1/2.


Entonces, vemos que el punto P( 1, 5 ), divide al segmento AB, en una razón r = 1/2 , tal como lo acabamos de comprobar.

Ejemplo 2:

¿Cuáles son los puntos que dividen en cuatro partes iguales al segmento formado por los puntos A(5, 7) y B(-6, -8)?


Como te puedes dar cuenta, en este ejercicio, no se te hadado la razón o las razones para encontrar cada uno de los puntos que se te piden, entonces, primero has de buscar la razón de cada uno de los puntos que buscas. Pare ello, traza un segmento AB, tal como se muestra a continuación; divídelo en cuatro partes más o menos iguales, ya que solo es una estimación que nos permitirá saber la razón buscada:




Llamemos P, Q y R a los puntos que estamosbuscando, ahora veamos cual es la razón de cada uno. Para ello recuerda que razón es la comparación por cociente dos segmentos.



Por lo tanto la razón de P es 1/3; la razón de Q es 1 y la razón de R es 3.

Ahora usemos las fórmulas



para encontrar las coordenadas de P, Q y R.



Si A(5, 7) y B(-6, -8), entonces para encontrar el punto P, cuya razón es 1/3, tenemos:...