Punto de division de un segmento dividido

PUNTO DE DIVISION DE UN SEGMENTO
El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones porcociente o geométricas.
La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuántas veces la una contiene a la otra.Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.
Consideramos los puntos A(X1,Y1) y B(X2, Y2) los extremos de una recta.Sea P(X, Y) el punto de división que se encuentra entre la recta, como se indica
Consideramos como el proceso de “Divir un segmento en una razón dada” aquel el cual consiste en determinar unaposición (P) del elemento en cual se encuentra el suso dicho (Segmento) dado entre dos puntos (XY), de tal manera que las dos partes PX y PY constituyen a la razón dada.
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Todo ello, en el caso de unasola posición, pues la cantidad de partes que constituyen la razón se encuentra intímamente ligada con la cantidad de puntos dentro del segmento. Pero para ejemplo, de definición lo anterior basta.Por ejemplo
Supongamos un segmento comprendido entre los extremos cuyos puntos son: X(4,2) y Y(8,4) el cual deseamos dividir en 3 partes iguales.
Si tenemos un segmnto c y lo divimos en dos a y bsegun una razon dada se cumple que:
a/b = r .
r es el valor de la razon
tambien se cumple que a + b = c
si la razon vale cero seria necesario que b valga infinito y esto es imposible porque una parteseria mayor que todo el segmento dado, por lo tanto no puede valer r = 0

Si el punto que divide el segmento coincide con uno de los extremos no hay division del segmento porque en nuestro ejemplosi el segmento b coincide con el segmento c dado, el segmento a debe valer cero y la razón cero, y por definición r tiene un valor dado. Dividir un segmento dirigido en una razón dada significa...