Doctora

CAMPOS Y ONDAS
1ª prueba personal, Septiembre, 2001-2002,
Duración 2 h, sin material auxiliar salvo calculadora científica.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
EDUCACIÓN A DISTANCIA
Escuela Técnica Superior de
Ingenieros Industriales
Departamento de Mecánica
Campos y Ondas

Preguntas teórico-prácticas (cada una vale 1 punto).

1ª.- Considérese un campo vectorial F(x,y,z) = zay Determine el flujodel campo F sobre la superficie de un
cilindro cerrado centrado en el eje z y con las bases en los planos z = 0 y z = 2 . El radio del cilindro es de 2 m,
al igual que su altura.
2ª.- Sobre un disco de radio a se deposita una carga Q, sobre su superficie, de forma que se distribuye
uniformemente. Determine la fuerza que se ejerce sobre otra carga q situada a una distancia z del centro deldisco
y sobre el eje del mismo.
3ª.- Mostrar que un dieléctrico polarizado puede ser reemplazado por unas distribuciones de carga superficial y
volumétrica.
4º.- Usar la ecuación de Laplace para determinar la capacitancia de un conductor coaxial cuya conductor interno
está a un potencial V0 y el externo a un potencial 0.
Ejercicios (tres puntos cada uno).
1er.- Se carga una esfera conductora Ade radio a con una carga q. Se pide:
a) La variación de su potencial V y su capacidad C al introducirla (concéntricamente) en el interior de otra esfera
conductora hueca B descargada y aislada, de radios interior b y exterior c.
b) Una vez está la esfera A dentro de B se conecta B a tierra. Determine los nuevos valores de V y C.

c
B

a
A

b

2º.- Un conductor rectilíneoindefinidamente largo se dobla en ángulo recto redondeando el ángulo de forma que
sea un arco de un cuarto de circunferencia de radio 24 cm. Determinar la densidad de flujo magnético B que se
establece en el centro del cuadrante de la circunferencia cuando por el conductor circula una corriente de
intensidad 78 A.

B
P
I

SOLUCIONES:
PREGUNTAS TEÓRICO-PRÁCTICAS:
1ª.- F ( x, y, z ) = za y ; ∫ F .ds. En cilíndricas: F (r , φ , z ) = z sen φ ar + cos φ aφ , dado que: a y = sen ar + cos φ aφ
s

como, ds = rd φ dzar + drdzaφ + rdrd φ dza z , y r = cte = 2, dr = 0 ⇒ F ⋅ ds = 2 z sen φ d φ dz =

2π

2

∫ ∫ 2 z sen φ dφ dz =
0 z =0

2π

∫ 4sen φ dφ = −4 cos φ

2π
0

= 0.

0

Se podía haber hecho directamente viendo que ∇ ⋅ F = 0 , en cualquiera de los sistemas decoordenadas.
2ª.-

Z
F

dQ =ρs ds = ρsrdrdφ . La fuerza solo tienen componente según Z, pues las
componentes paralelas al plano Y se anulan por simetría.

Fα

dF =

q ρs
z
cos α rdrd φ a z , como R2 = r2 + z2 y cosα = ;
R
4πε 0 r 2

Fα =

q ρ s 2π a
q ρs
z
∫0 r∫0 r 2 + z 2 3 2 rdrdφ az = 2ε 0
4πε 0 φ = = (
)

α R
z


z
1 − 2
a + z2



 az para z > 0 ;


y unaexpresión similar, pero con signo menos, para z < 0.

r

a

φ

ρs

dφ
dr
ds = rdrdφ

3ª.-

∑p

i C
, sino existe campo externo la Polarización es cero, si el campo E ≠ 0
m2
∆V
aparecen unas cargas ficticias en las superficies y el volumen.

Se sabe que: P = lim

∆V → 0

E

R

+
+
+
+

+ +

+
+

r’
r

E

Pi
Como para un dipolo elemental V p ≈

r

++
+
+

ql cos θ
, y p = ql ⇒ V = p ⋅ ar , por lo tanto,
p
4πε r 2
4πε r 2

Para un elemento de volumen dv: dP = Pdv , por lo tanto,

dV =

dP ⋅ aR
P ⋅ aR dv
=
4πε 0 R 2 4πε 0 R 2

1
1 R
Como: R = r − r ′, y, ∇ ′   = 3 ⇒ dV =
4πε
R R

1

 P ⋅∇′ R  dv , como se cumple la igualdad



1 
P 1
vectorial: ∇.(ψ A) = ψ∇ ⋅ A + A ⋅∇ψ , tenemos entonces que: dV=
∇ ′ ⋅ − ∇ ⋅ P  dv e integrando,
4πε 
R R

V=

1
4πε



P

1



∫ ∇′ ⋅ R − R ∇ ⋅ P dv , aplicando el teorema de la divergencia al primer miembro queda:


v

σl
ρl
∇⋅P
P ⋅ ds
ˆ
−
dv = ∫
ds + ∫
dv ,donde σ l = P ⋅ n y ρl = −∇ ⋅ P tienen dimensiones de
s 4πε R
v 4πε R
4πε 0 R ∫v 4πε 0 R
0
0
carga por unidad de superficie y por unidad de volumen...