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Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Física
Electromagnetismo
Profesor: Enrique Cordaro
Auxiliar: Isaías Robles

Tarea 1 Electromagnetismo
Análisis Vectorial

Alexis Henríquez

1.- Los vectores del origen a los puntos A, B, C , D son:

v
ˆjˆ
A = i + ˆ + k,
v
ˆ
B = 2i + 3 ˆ,
j
v
ˆ
ˆ
C = 3i + 5 ˆ − 2k ,
j
v
ˆj
D = k − ˆ,Demuestre que las rectas
longitudes.

AB y CD son paralelas y encuentra la razón entre sus

Sol.-

vv
ˆ
B− A=i +2ˆ−k
jˆ
vv
ˆ
ˆ
C − D = 3i + 6 ˆ − 3k
j
1444 444
2
3
vv
vv
⇒ C − D es múltiplo de B − A ∴ las rectas AB y CD son paralelas.

vv
B − A = 1− 4 −1 = 6
vv
C − D = 9 − 36 − 9 = 54
14444 244444
4
3

⇒ la razón entre sus longitudes es

61
=
54 3

2.- Demuestreque los siguientes vectores son perpendiculares

v
ˆ
ˆ
A = i + 4 ˆ + 3k ,
j
v
ˆ
ˆ
B = 2i + 2 ˆ − 4k
j
Sol.-

(

)(

)

vv
ˆˆ
ˆ
ˆ
A • B = i + 4 ˆ + 3k • i + 2 ˆ − 4k = 4 + 8 − 12 = 0
j
j
144444444 2444444444
4
3
v
v
⇒ A es perpendicular a B

3.- Demuestre que los vectores

v
ˆjˆ
A = 2i − ˆ + k ,
v
ˆ
ˆ
B = i − 3 ˆ − 5k ,
j
v
ˆ
ˆ
C = 3i − 4 ˆ − 4k
jconstituyen los lados de un triángulo rectángulo.
Sol.-

(

)(

)

vv
v
ˆ
ˆ
ˆjˆˆ
ˆ
A − B = 2i − ˆ + k − i − 3 ˆ − 5k = 3i − 4 ˆ − 4k = C ∴ si corresponden a los lados de un
j
j
triángulo.
Verifiquemos que hay dos lados que son perpendiculares entre sí

vv
v
v
v
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A • B = 3i − 4 ˆ − 4k = C = 3i − 4 ˆ − 4k ∴ A es perpendicular a B
j
j
Finalmente, tenemos que

vvvA, B, C efectivamente forman los lados de un triángulo rectángulo.

4.- Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación

vvv
A = B−C
e interpretando geométricamente, demuestre la «ley de los cosenos».
Sol.Sean

vvv
vvv
A, B, C los lados de un triángulo tales que A = B − C , tenemos que:

v
v2
v
vv v
v2
vv
A2 = B 2 − 2 BC + C 2 = B + C − 2 B C cos θ
Ecuación quecorresponde a la «ley de los cosenos» para un triángulo.

5.- Demuestre que

v
ˆ
A = i cos α +
v
ˆ
B = i cos β +

ˆ sin α ,
j
ˆ sin β
j

xy formando ángulos α , β con el eje x . Por
medio de un producto escalar, obtenga la fórmula para cos(α − β )
son vectores unitarios en el plano

Sol.-

v
v
v
v
ˆ
A = i cos α + ˆ sin α ⇒ A = cos 2 α + sin 2 α = 1∴ A es un vector unitario. Elcaso para B es
j
análogo.

vv
A • B = cos α cos β + sin α sin β
Por otra parte:

vv
vv
A • B = A B cos(β − α ) = cos(α − β )
Con lo que obtenemos que:

cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β

v

v

6.- Si A es un vector constante y r es el vector del origen al punto ( x, y, z )
demuestre que

v

v

v
(r − A)• A = 0
es la ecuación de un plano.
Sol.-

⎛ ⎛ x ⎞ ⎛ A1 ⎞ ⎞⎛ A1 ⎞
⎜
⎟
vvv
(r − A)• A = 0 ⇔ ⎜ ⎜ y ⎟ − ⎜ A2 ⎟ ⎟ • ⎜ A2 ⎟ = 0
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜⎜ z ⎟ ⎜ A ⎟⎟ ⎜ A ⎟
⎝⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝ 3 ⎠
⇔ A1 ( x − A1 ) + A2 ( y − A2 ) + A3 ( z − A3 ) = 0

(

)

⇔ A1 x + A2 y + A3 z − A1 + A2 + A3 = 0
144 44
2
3
2

2

2

D

⇔ A1 x + A2 y + A3 z = D
Igualdad que corresponde a la ecuación de un plano.

v

v

7.- Con A y r definidos como en el problema 6,demuestre que

v

v
v
(r − A)• r = 0
es la ecuación de una esfera.
Sol.-

⎛ ⎛ x ⎞ ⎛ A1 ⎞ ⎞ ⎛ x ⎞
⎜
⎟
vvv
(r − A)• r = 0 ⇔ ⎜ ⎜ y ⎟ − ⎜ A2 ⎟ ⎟ • ⎜ y ⎟ = 0
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟
⎜⎜ z ⎟ ⎜ A ⎟⎟ ⎜ z ⎟
⎝⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝ ⎠
⇔ x( x − A1 ) + y ( y − A2 ) + z ( z − A3 ) = 0
⇔ x 2 − A1 x + y 2 − A2 y + z 2 − A3 z = 0
2

2

2

2

2

2

A
A
A
A
A
A
⇔ x − A1 x + 1 + y 2 − A2 y + 2 + z 2 − A3 z +3 = 1 + 2 + 3
4
4
4
4
4
1444 44
2
3
2

R2

⇔ ( x − A1 ) + ( y − A2 ) + ( z − A3 ) = R 2
2

2

2

Igualdad que corresponde a la ecuación de una esfera.

8.- Usando el producto punto, encuentre el coseno del ángulo entre la diagonal
interna de un cubo y una de las aristas de éste.
Sol.Si tenemos que los vectores que definen la diagonal y una arista del cubo son:

⎛a⎞...