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Cuerno de Gabriel


Imagen parcial del Cuerno de Gabriel (o Trompeta de Torricelli).
El Cuerno de Gabriel (también llamado Trompeta de Torricelli) es una figura geométrica ideada por EvangelistaTorricelli que tiene la característica de poseer una superficieinfinita pero un volumen finito. Es la superficie de revolución que se obtiene al girar, alrededor del eje X, el gráfico de la funciónF(x)=1/x, con dominio x ≥ 1.
Historia
En el momento de su descubrimiento, fue considerado una paradoja. Esta paradoja aparente ha sido descrita de modo informal señalando que sería necesaria unacantidad infinita de pintura para cubrir la superficie interior, mientras que sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura y así cubrir esa superficie.
La solución de laparadoja es que un área infinita requiere una cantidad infinita de pintura si la capa de pintura tiene un grosor constante. Esto no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitudde la figura no es accesible a la pintura, especialmente cuando su diámetro es menor que el de una molécula de pintura. Si se considera una pintura sin grosor, sería necesaria una cantidad infinitade tiempo para que ésta llegase hasta el «final» del cuerno.


Ilustración en 3D del Cuerno de Gabriel.
En otras palabras, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeñoque una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita noimplicaría que la cantidad de pintura tenga que ser infinita.
Pero la paradoja también tiene solución incluso si suponemos una materia divisible indefinidamente (o sea, si no existen los átomos). Si elgrosor de la capa de pintura es variable y disminuye indefinidamente (tendiendo a cero), la cantidad de pintura se calcularía por una integral impropia que podría ser convergente. En este caso, el...