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Semana 4 - Clase 12

Tema 2: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden 1

Ecuaci´n Diferenciales Homog´neas de Primer Orden o e 1. Funciones Homog´neas de grado n e
Diremos que una funci´n o  y  si w = ⇒ f (x, y) = xn g(w)   x   si w = x ⇒ f (x, y) = y n h(w)  y

Definicion:

f (x, y) es homog´nea de grado n si f (tx, ty) = tn f (x, y) e

⇔

donde n es una constante y t > 0.Las funciones homog´neas indican un comportamiento particular cuando cambiamos la escala e de sus variables. Se utilizan con bastante frecuencia en hidrodin´mica y termodin´mica. a a Ejemplo: La siguiente funci´n: o f (x, y) = x2 + y 2 ln es una funci´n homog´nea de grado 2, ya que: o e f (tx, ty) = (tx)2 + (ty)2 ln Ejercicios: f (x, y) = √ Muestre que x y es homog´nea de grado e 1 ; 2 f (x, y) =ey/x +tan x y es homog´nea de grado 0 e ty tx ⇒ f (tx, ty) = t2 x2 + y 2 ln y x = t2 f (x, y) . y x

ysen

2.

Ecuaciones Diferenciales Homog´neas e
Una ecuaci´n diferencial ordinaria de primer orden o P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 , ser´ una ecuaci´n diferencial con coeficientes homog´neos si: a o e Q(x, y) y P (x, y) son homog´neas de grado n e (1)

Definici´n o

Teorema Si loscoeficientes P (x, y) y Q(x, y) de una ecuaci´n diferencial son homog´neos de o e orden n, entonces la siguiente sustituci´n: y = ux, convertir´ la ecuaci´n diferencial en una ecuaci´n o a o o diferencial donde las variables son separables.

H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez e a u˜

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Universidad de Los Andes, M´rida e

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Tema 2: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden 1Demostraci´n o ces:

Como P (x, y) y Q(x, y) son funciones homog´neas de orden n (hip´tesis) entone o P (x, y) = xn f (u) y Q(x, y) = xn g(u) ,

sustituyendo en la ecuaci´n diferencial (1): o xn f (u)dx + xn g(u)(udx + xdu) = 0 [f (u) + ug(u)] dx + xg(u)du = 0 dx [f (u) + ug(u)] + g(u)du = 0 x dx g(u)du + = 0, x f (u) + ug(u) donde x = 0 y f (u) + ug(u) = 0. Ejercicios: Demuestre que lasustituci´n x = uy tambi´n convierte la ecuaci´n diferencial en una o e o de variables separables. N´tese que exigir que Q(x, y) y P (x, y) sean funciones homog´neas de grado n, equivale a o e imponer que dy(x) P (x, y) = ≡F dx Q(x, y) y x donde F y x es Homog´na de grado 0 , e

con lo cual estamos diciendo que si los coeficientes Q(x, y) y P (x, y) son funciones homog´neas de e grado n, la ecuaci´ndiferencial es invariante de escala. o Ejemplos: 1.- Como un primer ejemplo consideremos la siguiente ecuaci´n diferencial no lineal o y = Esto es x2 − y 2 + y dx − xdy = 0   P (tx, ty) →    Q(tx, ty) ⇒ tx (tx)2 − (ty)2 + ty ⇒ t ⇒ tx x2 − y 2 + y x2 − y 2 + y x

⇒

los coeficientes son funciones homg´neas de grado 1 y por lo tanto al hacer y = ux tendremos e x 1 − u2 + u dx − x(udx + xdu) = 0 ⇒ ±1 − u2 dx − xdu = 0 ⇒ dx =± x √ du . 1 − u2

Notemos que: u = ±1 y x = 0.

H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez e a u˜

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Tema 2: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden 1

Integramos y, finalmente, llegamos a ln(x) = arcsen u + C ⇒ ln(x) = arcsen y +C x y +C x para para y < 1 con x > 0 x y < 1 con x < 0 . x

− ln(−x) =arcsen u + C ⇒ − ln(−x) = arcsen

y = 1 ⇒ y = ±x tambi´n es soluci´n. e o En este caso tenemos que u = x 2.- Consideremos la siguiente ecuaci´n diferencial o y =− 2x − y + 1 x+y

la cual corresponde al caso en los cuales los coeficientes de la ecuaci´n Q(x, y) y P (x, y) son funciones o inhomog´neas. Tal y como hemos visto un cambio de variable lo convierte en homog´neo. Hay que e e tener cuidadocon el signo + de: P dx + Qdy = 0.  dx = 1 (du − dv)  u = 2x − y + 1 ⇒ du = 2dx − dy 3 ⇒ (2x − y + 1) dx+(x + y) dy = 0 ⇒  v = −(x + y) ⇒ dv = −dx − dy dy = − 1 (du + 2dv) 3 as´ nuestra ecuaci´n diferencial tendr´ la forma de una ecuaci´n homog´nea ı o a o e (u + v)du − (u − 2v)dv = 0 , y ahora haciendo el cambio de variables u = tv con lo cual du = tdv + vdt (tv + v)(tdv + vdt) − (tv −...