Domin

Jugando con el Domin´ o
Antonio M. Oller Marc´n e

1.

Introducci´n o

Todos conoc´is el juego del domin´. Es m´s que probable que hay´is jugado m´s de una e o a a a vez e incluso que alguno sea un experto. Ahora bien, si se os preguntase si hay relaci´n entre o el domin´ y las matem´ticas ¿sabr´ responder? Una relaci´n evidente y algo tonta es que o a ıais o aparecen n´meros. Pero lasmatem´ticas son mucho m´s que trabajar con n´meros y hacer u a a u cuentas. En las actividades que vamos a realizar a continuaci´n vamos a jugar con (y no al) o domin´. La idea es que pens´is, que busqu´is un motivo a las cosas que suceden, pues esto o e e s´ tiene mucho m´s que ver con las matem´ticas (todo en realidad) que los n´meros y las ı a a u cuentas. Nunca est´ de m´s saber un poco de lahistoria de aquello con lo que uno va a trabajar. S´lo a a o vamos a dar unas peque˜´ nısimas pinceladas. Se cree que el domin´, como tantos otros juegos del o mismo tipo, naci´ en China hace unos 3000 a˜os. De all´ pas´ a Egipto y cuando lo descubrieron o n ı o los ´rabes le a˜adieron las fichas blancas1 . En Europa, d´nde somos tan listos y creemos haberlo a n o inventado todo, no consta que sejugar´ hasta el siglo XVIII en Italia. Actualmente existen a incluso campeonatos nacionales, europ´os y mundiales2 . Por ultimo indicar que el domin´ tiene e ´ o una relaci´n muy muy estrecha con los dados ¿Se te ocurre cu´l pueda ser? o a

2.

Contando Fichas

En un juego de domin´ usual aparecen las cifras entre 0 y 6. Como dibujar aqu´ las fichas de o ı domin´ es muy complicado lasrepresentaremos con los n´meros entre par´ntesis; por ejemplo o u e (1,4). Vamos a contar cu´ntas fichas hay en un juego de domin´. En realidad esto es muy sencillo, a o s´lo hay que contar a mano, despu´s de un breve tiempo se llegar´ a la repuesta que es 28. o e a Pero, si quisi´ramos fabricar un macro-juego de domin´ en el que aparecieran las cifras desde 0 e o hasta 25 est´ claro que har´ falta muchas m´spiezas ¿cu´ntas?3 Si quisi´ramos llegar hasta a ıan a a e 4 el 50 empieza a ser inc´modo tener que contar . Parece entonces que nos puede interesar buscar o una f´rmula para contar el n´mero de piezas que forma un juego de domin´ en funci´n de las o u o o cifras que aparezcan en ´l. Para ello vamos a revisar el modo en el que hemos contado las 28 e piezas del juego original. Vamos a fijarnosprimero en cu´ntas veces aparece el 0. Lo hace en el (0,0); en el (0,1) y a as´ hasta el (0,6); es decir, 7 veces. A continuaci´n nos fijamos en el 1. Aparece en el (1,0) ı o
1 2

Recuerda que los ´rabes son los que introdujeron la cifra ‘0’ en Europa a Puedes buscar informaci´n en internet sobre la FIDO o 3 Veremos que son 351 4 Salvo que te guste mucho contar hasta 1326

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[pero ¡ojo! este yalo hemos contado], en el (1,1) y as´ hasta el (1,6) lo que nos da un total de ı 6 apariciones. Si seguimos mirando veremos que el 2 aparece 5 veces, el 3 lo hace 4, el 4 en 3 ocasiones, el 5 en 2 y el 6 en 1. S´lo nos queda sumar y tenemos: o 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 Lo importante de la forma en la que hemos contado las fichas reside en que lo hemos hecho ordenadamente, siguiendo un m´todo.Esto nos va a permitir exportar esta manera de contar a e otros casos mayores. Por ejemplo supongamos que tenemos un domin´ que llega hasta el n´mero o u 25 y vamos a contar del mismo modo que antes. En este caso el 0 aparece en 26 ocasiones, el 1 lo hace en 25 y as´ sucesivamente. As´ el n´mero de fichas que aparece es: ı ı u 26 + 25 + 24 + . . . + 4 + 3 + 2 + 1 = 351 Es m´s, si en nuestro juegoqueremos que aparezcan las cifras 0, 1,. . . , n y contamos de la a misma manera veremos que el n´mero de fichas total (que llamaremos F (n)) es: u F (n) = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + (n + 1) Tenemos ahora otro problema: calcular el valor de la suma 1 + 2 + . . . + (n + 1). Veamos c´mo lo podemos resolver. Vamos a llamar S a la suma que estamos buscando y nos damos o cuenta de lo siguiente: S = 1 + 2...