Dominio de definicion

Dominio de definición

Ilustración que muestra f, una función dedominio X a codominio Y. El óvalo pequeño dentro de Y es la imagen de f, a veces llamado rango de f.
En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función f:X→Y es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todoslos objetos que puede transformar, se denota Domf o bien Df. En Rn se denomina dominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo interior no sea vacío.
Por otra parte, el conjunto de todos los resultados posibles de una función dada se denomina imagen de esa función.
Índice
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1 Definición
2 Propiedades
3 Cálculo del dominio de una función
3.1 Raíz n-ésima de f(x)
3.2 Logaritmo de f(x)3.3 Fracciones
4 Ejemplos
5 Véase también
6 Enlaces externos
Definición[editar]
El dominio de definición de una función f:X→Y se define como el conjunto X de todos los elementos x para los cuales la función f asocia algún y perteneciente al conjunto Y de llegada, llamado codominio. Esto, escrito de manera formal:
Df={x∈X|∃y∈Y:f(x)=y}
Propiedades[editar]
Dadas dos funciones reales:
f:X1→Ryg:X2→R
Se tienen lassiguientes propiedades:
1. D(f+g)=X1∩X2
2. D(f−g)=X1∩X2
3. D(f⋅g) =X1∩X2
4. D(f/g)={x∈(X1∩X2)|g(x)≠0}
Cálculo del dominio de una función[editar]
Para el cálculo certero del dominio de una función, se debe introducir el concepto de restricción en el cuerpo real. Estas restricciones ayudarán a identificar la existencia del dominio de una función. Las más usadas son:
Raíz n-ésima de f(x)[editar]
Noexiste restricción si n es impar, pero si n es par, la función f(x) necesariamente deberá ser mayor o igual que cero, ya que las raíces negativas no están definidas en el cuerpo real. Por ejemplo:
y=7x−21−−−−−−√
El índice de la raíz es par (2), por tanto 7x−21≥0; despejando, se tiene que x ≥ 3. El dominio entonces será el conjunto de todos los reales en el intervalo [3,+∞).
Logaritmode f(x)[editar]
La restricción está al estudiar las propiedades de los logaritmos las cuales dicen que estos no están definidos para números negativos, por tanto toda función contenida dentro de un logaritmo debe ser necesariamente mayor estricto de cero. Por ejemplo:
log(x2−9)
Por la propiedad anteriormente citada, se observa que para que esta función exista, necesariamente x2−9>0; despejando, se obtienendos soluciones x>3 y x<−3. Launión de ambas soluciones representa el dominio de la función, que está definida como el conjunto (-∞, -3) U (3, +∞).
Fracciones[editar]
Véase también: División por cero
Otras propiedades de las matemáticas pueden ayudar a obtener el dominio de una función y excluir puntos donde esta no esté definida, por ejemplo, una función que tenga forma de fracción no estarádefinida cuando el denominador valga cero, ya que esto es una indeterminación que daría una tendencia al infinito.
Ejemplos[editar]
Algunos dominios de funciones reales de variable real:
f(x)=x2 El dominio de esta función, así como el de cualquier función polinómica y exponencial, es R.
f(x)=1x El dominio de esta función es R−{0} puesto que la función no está definida para x = 0.
f(x)=log(x) Eldominio de esta función es (0,+∞) ya que los logaritmos están definidos sólo para números positivos.
f(x)=x√ El dominio de esta función es [0,+∞) porque la raíz de un número negativo no existe en el cuerpo de los reales.






















3. Derivadas de funciones trigonométricas
Vamos a empezar por dar la derivada de 
f(x) = sen x, 
 y después utilizarla para obtener las derivadas de las otrascinco funciones trigonométricas.
Derivada de 
sen x
La derivada de la función seno se da por
d
dx

 sen x = cos x.
Eso es todo lo que hay que hacer!
Pregunta 
¿De dónde vino esto?
Respuesta 
Lo justificaremos al final de esta sección. (Si no puedes esperar, presiona la perla  para ir ahí ahora).

 Ejemplo 1
Calcula 
dy/dx
 si:

(a) 
y = xsen x
(b) 
y = cosec x
(c) 
y = 
x2 + x
sen x


(d) ...