dominio derivadas parciales

Funciones de varias variables
B ENITO J. G ONZÁLEZ RODRÍGUEZ (❜❥❣❧❡③❅✉❧❧✳❡s)
D OMINGO H ERNÁNDEZ A BREU (❞❤❛❜r❡✉❅✉❧❧✳❡s)
M ATEO M. J IMÉNEZ PAIZ (♠❥✐♠❡♥❡③❅✉❧❧✳❡s)
M. I SABEL M ARRERO RODRÍGUEZ (✐♠❛rr❡r♦❅✉❧❧✳❡s)
A LEJANDRO S ANABRIA G ARCÍA (❛s❣❛r❝✐❛❅✉❧❧✳❡s)
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de La Laguna

Índice
1. Funciones de varias variables

1

2. Límites y continuidad

5

3.Derivadas parciales

8

3.1. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.2. La diferencial de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.3. Aplicaciones de la diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.4. Derivadas parciales de orden superior . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

4. Extremos de funciones de dos variables

M ATEMÁTICA A PLICADA Y E STADÍSTICA

17

OCW-ULL 2013

F UNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1.

1/23

Funciones de varias variables

Definición 1.1. Denotemos por R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} el plano euclídeo, y sea D ⊂ R2 . Una aplicación
f:

D

−→ R

(x, y) −→ z = f (x, y)
se denomina una funciónvaluada real de dos variables reales. Es usual denotar por z = f (x, y) a estas
funciones.
Llamaremos variables independientes a x e y, y variable dependiente a z.
El dominio de la función f es el conjunto

Dom f = (x, y) ∈ R2 : f (x, y) ∈ R ⊂ R2 .

Nótese que D ⊂ Dom f .
El conjunto
Im f = {z = f (x, y) : (x, y) ∈ Dom f } ⊂ R
es la imagen o rango de f .
Por último, la gráfica o grafo de f es elconjunto

Grafo f = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ Dom f } ⊂ R3 .

Geométricamente, el grafo de f se interpreta como una superficie en el espacio cuya proyección sobre el
plano OXY es Dom f .

Ejemplo 1.2. Hallar el dominio y el rango de la función f (x, y) =

16 − 4x2 − y2 . Esbozar su gráfica.

R ESOLUCIÓN . En primer lugar, nótese que el radicando ha de ser no negativo. Por tanto
Dom f

=

(x, y) ∈R2 : 16 − 4x2 − y2 ≥ 0

=

(x, y) ∈ R2 :

M ATEMÁTICA A PLICADA Y E STADÍSTICA

x 2 y2
+
≤1 ,
4 16
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B. G ONZÁLEZ , D. H ERNÁNDEZ , M. J IMÉNEZ , I. M ARRERO , A. S ANABRIA

Figura 1.1. Dominio, rango y gráfica de la función del Ejemplo 1.2.

el cual constituye el recinto interior a la elipse de semiejes 2 y 4 en el plano OXY :
x2 y2
+
= 1.
4 16
√
Por otra parte, al ser 4x2 +y2≥ 0, el valor máximo de f se toma en el punto (0, 0), donde f (0, 0) = 16 = 4;
mientras que el valor mínimo se toma cuando 4x2 + y2 = 16, es decir, sobre la elipse anterior, donde la función
es idénticamente nula. Así pues,
= {z = f (x, y) ∈ R : (x, y) ∈ Dom f }

Im f

= {z ∈ R : 0 ≤ z ≤ 4} .
El grafo de f viene dado por
Grafo f

=

x, y,

16 − 4x2 − y2 : (x, y) ∈ Dom f

=

x, y,

16 − 4x2 − y2 :

x2 y2
+
≤1 ,
4 16

el cual puede ser representado como la mitad superior del elipsoide
z2
x2 y2
+
+
= 1.
4 16 16
En efecto:
z = f (x, y), z ≥ 0 ⇒

z=

16 − 4x2 − y2 , z ≥ 0

⇒ z2 = 16 − 4x2 − y2 , z ≥ 0
⇒
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x 2 y2
z2
+
+
= 1, z ≥ 0.
4 16 16
M ATEMÁTICA A PLICADA Y E STADÍSTICA

F UNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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La Figura 1.1 muestra el dominio, rango y gráfica de la funciónconsiderada.

Para visualizar una función de dos variables podemos auxiliarnos de sus curvas de nivel

f (x, y) = c,

c constante,

que según las distintas aplicaciones en que se utilicen se denominan isobaras, isotermas, líneas equipotenciales, etc.
Ejemplo 1.3. Dibujar las curvas de nivel de la función f (x, y) =

64 − x2 − y2 correspondientes a c =

0, 1, 2, 3, . . . , 8.
R ESOLUCIÓN . Las curvas denivel para la función f vienen dadas por:
f (x, y) = c

⇒

64 − x2 − y2 = c

⇒ 64 − x2 − y2 = c2
⇒ x2 + y2 = 64 − c2 ,
√
las cuales son circunferencias en el plano OXY centradas en el origen y de radio 64 − c2 . Por tanto, para
√ √ √
los valores c = 0, 1, 2, 3, . . . , 8, los radios de las respectivas circunferencias son 8, 63, 60, 55, . . . , 0. En la
Figura 1.2 se da una representación...