Dominio y rango

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Una función f es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de un conjunto A llamado dominio un valor único f(x) de otro conjunto B. El subconjunto de B formado por todos los elementos [pic]a los que se les asigna elementos de A se llama rango o recorrido de la función, y cada uno de sus elementos se llama imagen.

Representemos en un diagrama de flechasuna función f

[pic]

Representemos en un diagrama de flechas una relación que NO es una función.

[pic]
Ahora representemos en el plano cartesiano una relación que no es función.
Si una gráfica contiene los puntos (a, b) y (a, c) entonces dicha gráfica no representa una función, ya que a un valor del dominio le corresponden dos valores del rango.
Observe el dibujo:

[pic]

Lasfunciones se notan mediante ecuaciones de la forma y = f(x), por ejemplo:

[pic]

El dominio de una función de x consiste de todos los posibles valores que puede tomar x de manera que la expresión dada tenga sentido en los Reales.

DOMINIO DE LAS FUNCIONES POLINÓMICAS
Definición:
Una función polinómica es de la forma:

[pic] , donde [pic]Z+

Ejemplos: [pic]
Notación: Dominio de f (x) seescribe: Domf(x)

El dominio de una función polinómica es el conjunto de los números reales (R): Domf(x)=R

DOMINIO DE FUNCIONES RACIONALES
Definición:
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas (polinomios). Ejemplos:

[pic]

Una expresión de números reales de la forma [pic] no existe si B =0, de manera que para hallar el dominio de una función racional basta conigualar el denominador a cero y determinar así los únicos valores de x que no pertenecen al dominio.

Ejemplo:
Hallar el dominio de la función [pic]

Igualamos el denominador a cero: [pic]

Factorizamos[pic] este producto es cero si uno de sus factores es cero, así:

[pic] Entonces: x = - 2
[pic] Entonces: x = - 1

De lo anterior, deducimos que los números – 2 y [pic] nopertenecen al dominio y por lo tanto:

Domf(x)= R – {-2, -1}

DOMINIO DE FUNCIONES CON RADICALES

Primer caso:

[pic]

La expresión que define a esta función tiene validez en R solamente si el radicando es mayor o igual que cero, es decir, [pic], al resolver la inecuación se obtienen los valores de que pertenecen al dominio.

[pic]

Al resolver la inecuación se obtiene: [pic], entonces:Dom[pic]

Segundo caso:

[pic]

En este caso es necesario asegurar que el denominador no sea cero ([pic], y además que el radicando sea mayor que cero ([pic]), de tal manera que debemos resolver la ecuación:

[pic]

Dom g(x)=[pic]

Tercer caso:

[pic]

En este caso debemos controlar tanto lo que sucede en el numerador como lo que sucede en el denominador, es decir:

- Elradicando debe ser positivo o cero. [pic], [pic]
- El denominador debe ser distinto de cero. [pic]

Observemos sobre una recta numérica esta situación:

[pic]
De manera que la solución es: Dom h(x) = [pic]

RECORRIDO DE ALGUNAS FUNCIONES

Algunas funciones permiten hallar de manera sencilla sus recorridos.

Por ejemplo:
Hallar el recorrido de la función [pic]

Para lograrlodespejamos x:

[pic]

Entonces, en la última ecuación y debe ser distinto de 2, es el único valor que no pueden tomar las imágenes, por lo tanto las solución es:

[pic]

INTERSECCIONES CON LOS EJES

Un punto (a, 0) es una intersección de la gráfica de f con el eje x sí [pic], es decir, si este punto es una solución de la ecuación que define a f. Por lo tanto, para hallar la intersección de lagráfica con el eje y debemos hacer x = 0 y resolver la ecuación que se obtiene.

Un punto (0, b) es una intersección de la gráfica de f con el eje y si [pic] es decir, si este punto es una solución de la ecuación que define a f. Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje x debemos hacer y = 0 y resolver la ecuación que se obtiene.

Nota: Las intersecciones con los...