Duplicación del cubo

Indice.
Pag.
1.- Introducción………………………………………… 1
2.- Historia de la duplicación del cubo………………. 7
2.1.- Origen………………………………………… 7
2.2.-Desarrollo del estudio del problema
por distintos autores a través de la historia… . 9
2.2.1.- Hipócrates de Quios……………….. 9
2.2.2.- Arquitas………………………………14
2.2.3.- Menecmo…………………………….18
2.2.4.- Eudoxo……………………………….25
2.2.5.- Eratostenes………………………….272.2.6.- Nicomedes………………………….. 31
2.2.7.- Apolonio y Heron……………………34
2.2.8.- Phylon……………………………….. 37
2.2.9.- Diocles………………………………..40

3.-Consecuencias del problema
de la duplicación del cubo……………………………. 44
3.1.-Sección de cónicas………………………….44
3.1.1.- Las cónicas de Apolonio……………..47
3.2.- Inconmensurables. Números
irracionales…………………………………60
3.3.-Método de exhausción…………………….. 62
3.3.1.-Calculo aproximado del número π…..64
4.- Bibliografía…………………………………….……74

Problema de la duplicación del cubo

Juan Pablo Mora

INTRODUCCIÓN.
Las culturas desarrolladas en Egipto y Mesopotamia, ya
habían perdido casi todo su impulso mucho antes de que
comenzara la era cristiana, pero a la vez que se acentuaba este
declive surgían con una fuerza indescriptible nuevas culturas a lo
largode todo el mediterráneo y entre ellas, la cultura helénica fue la
principal abanderada en el terreno cultural.
El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo
apogeo ni cuando fue amenazado con la destrucción, ahora bien,
en menos de cuatro siglos construyeron las bases de una nueva
ciencia que aún perdura hasta nuestros días. Este logro insólito se
llamó Matemáticas.
Elestudio del problema de la duplicación del cubo ha estado
siempre ligado a otros dos dilemas de la antigüedad. No se puede
hablar de uno de ellos sin al menos comentar los otros dos. Juntos
han pasado a la historia como los tres problemas clásicos o
famosos.
La cuadratura del circulo
La duplicación del cubo.
La trisección del ángulo.
Estos

tres

problemas

fueron

aproximadamente en elsiglo V a. C.

1

propuestos

en

Grecia

Problema de la duplicación del cubo

Juan Pablo Mora

La demostración de que estos tres problemas no pueden ser
construidos exactamente utilizando únicamente regla y compás no
llegó hasta 2200 años más tarde.
No obstante la mejor parte de la matemática griega y también
buena parte del pensamiento matemático muy posterior vino
motivadapor los esfuerzos para lograr su resolución respetando las
reglas de la época heroica. Nos referimos con el nombre de “Época
Heroica de la Matemática”, puesto que raramente antes ni después
se ha enfrentado el hombre con problemas matemáticos de una
importancia tan fundamental con tan pocas herramientas.
Las reglas de la época heroica consisten en la resolución de
estos problemas utilizandosolamente regla sin marcas y compás,
instrumentos que, al parecer son los que utiliza Euclides en su obra.
Son problemas sin solución exacta usando regla y compás, cosa
que se ha probado mucho después, aunque tienen solución por
otros métodos como el uso de las cónicas, ciertas curvas como la
cisoide de Diocles o la concoide de Nicomedes.

2

Problema de la duplicación del cubo

JuanPablo Mora

LA CUADRATURA DEL CIRCULO
Consiste en construir un cuadrado de área igual a un círculo
dado. Si tenemos un círculo de radio conocido R, su área es la que
aparece en la figura y hay que buscar un cuadrado que tenga el
área igual (como en la figura).

Este problema no tiene solución con regla y compás.
Lindenman (1852-1939), un matemático alemán, demostró
que era imposibleconstruirlo exactamente con regla y compás. El
número π tuvo desconcertados a los matemáticos bastante más
tiempo que el número e, tanto Lambert como Legendre habían
demostrado que tanto π como π2

eran irracionales, pero estas

demostraciones no resolvían el viejo problema de la cuadratura del
círculo. El asunto alcanzó al fin su solución definitiva en 1882, en un
articulo de Lindenman, el...