EC DIF CUASILINEALES

ECUACIONESDIFERENCIALESPARCIALESCUASILINEALES
´
PRIMERORDEN,NOCIONESB
ASICAS

UnaEcuaci´onDiferencialPartial(E.D.P.)dePrimerOrden,endosvariables,es
simplementeunaexpresi´ondelaforma
∂z ∂z
E(x, y, z, , )=0
(1)
∂x ∂y
Ejemplos:
∂z
∂z
+ b ∂y
= 0 , a,bsonconstantes
a ∂x
∂z
∂z
x ∂x − ∂y = f (x, y) , f esunafunci´oncontinua
Pregunta:¿Cu´aleslaideadeunasoluci´ondeunaE.D.P.?
Respuesta:SeaΩ⊂
R2undominioy f :Ω→ R conderivadasparcialescontinuas.
Lafunci´on f esunasoluci´ondelaE.D.P.(1)ssisesatisfacelaidentidad
∂f
∂f
E(x, y, f (x, y),
(x, y),
(x, y))≡0
, en Ω
∂x
∂y
Geom´etricamentelaidentidadanteriorsignifica,quelagr´aficade
f queesuna
3
superficieen R satisfacelaE.D.P.¿Comoencontrarestassuperficies?. Parauna
E.D.Pcualesquieraestapreguntaesmuycomplicada.Sinembargoenalgunoscasosmuyparticularesesposibledarrespuestaalapregunta.
R3 undomino.UnaE.D.P.dePrimerOrdendelaforma
∂z
∂z
(2)
P (x, y, z)
+ Q(x, y, z)
= R(x, y, z) , P, Q, R ∈ C 1 (Ω)
∂x
∂y
sellama E.D.P.CuasilinealdePrimerOrden
,dondelasfuncionescoeficientes
P, Q noseanulansimultaneamentesenΩ.
Definici´
on :SeaΩ⊂

Laecuaci´on(2)sellamaCuasilinealpuesengenerallasfuncionescoeficientes
P, Q, Rnonecesariamentesontransformacioneslinealesenlaterceracoordenada.
DepartamentodeMatem´atica,UTFSM
e–mail:eduardo.saez@usm.cl.

Laecuaci´on(2)bajounpuntodevistavectorial,sepuedeescribirequivalentemente
ˆ delEspacioVectorial
ent´erminosdelabasecan´onica{
ˆı,ˆ, k}
R3 ,comoelProducto
Punto:
∂z
ˆ ·( ∂z ˆ+
ˆ =0
(Pˆ+
ı Qˆ+ Rk)
ı
ˆ− k)
∂x
∂y
Consideremoselcampodevectores
(3)

F :Ω→

R3 , talque,

ˆ
F (x, y, z)= P (x, y, z)ˆ+
ıQ(x, y, z)ˆ+ R(x, y, z)k.

Conelobjetodesimplificarlaescritura,equivalentementeelanteriorcampodevectoressepuedeescribirsimplemente
F =( P, Q, R)enelentendidoqueeltrioesun
vector.
SeaΩundominioen
R3 , S unasuperficieenΩqueeslagr´aficadeunafunci´on
diferenciablededosvariables
f : D → R talque z = f (x, y)con D undominioen R2 .
Entoncessisedefine
E(x, y, z)= z − f (x, y)setieneque
Scoincideconlagr´afica
delconjunto
E −1 (0)={ (x, y, z)| z − f (x, y)=0 }
Lasuperficie S sepuedeentoncesconsiderarcomolasuperficiedenivelcerodela
funci´on E. Si S esunasuperficieregularqueessoluci´onde(2)yconsideramosel
∂z
∂z
gradiente ∇E =( − ∂x
, − ∂y
, 1)setienedeinmediatolaidentidad
F · ∇E ≡0 , en E −1 (0)
Siseinterpretageom´etricamente laidentidad anteriorsignifica quelasuperficie
soluci´onS,tambi´enllamadaSuperficieIntegral,estangentealcampodevectores
F (verFig.1).
∇E
E
R
F
•0

Fig.1
Pregunta:¿Comoencontrarsuperficiestangentesalcampodevectores

F ?.

Pararesponderlapreguntaanteriorrecordemosladefinici´onde´orbita,obien,
trayectoriadeuncampodevectores.
Definici´on.SeaΩundominioen
R3 y F :Ω→ R3 uncampodevectores.Unacurva
param´etrica r : I →Ωdonde I esunsubintervalode
Resuna´orbita(trayectoria)
delcampodevectoresssisesatisfacelaidentidad
dr(t)
≡ F (r(t)) , en I
dt

(4)

Ladefinici´onanteriordicequeunacurvaparam´etricatalqueelvectortangenteala
curvacoincideconelcampodevectoresencadapunto,esuna´orbita(verFig.2).

F

(
(r

)
t)

dr(t)
dt

r(t)

Fig.2

Fig.3,Superficiede´orbitas

N´otesequesisetieneunasuperficie(verFig.3)formadas´olopor´orbitasdelcampodevectoresentoncesesinmediatoqueesunasuperficietangentealcampodevectores
yenconsecuenciaesunasoluci´ondelaE.D.P(2). Elproblemaparaencontrar
SuperficiesIntegralessereduceaconseguir´orbitasdelcampodevectores.
Laidentidad(4),sepuedeescribirequivalentementeent´erminodelascomponentes
delosvectores,dedondesetienelaidentidad:
(

dx dy dz
, , )≡(
dt dt dt

P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))obien,simplementeigualandolascomponentesdeloscamposdevectoressetieneel
sistemadetresecuacionesdiferencialesordinarias:

(5)

dx
= P (x, y, z)
dt
dy
= Q(x, y, z)
dt
dz
= R(x, y, z)
dt

´

Elsistemaanteriorsepuedeescribirent´erminosdelasdiferencialescomounsistema
detresformasdiferenciales:
dx = P (x, y, z)dt
dy = Q(x, y, z)dt
dz = R(x, y, z)dt

(6)

Comentario1: Lasoluci´ongeneraldelsistema(5)sonfamiliasdecurvasdescritasporun...