Ec. dif no lineales

ECUACION DE BERNOULLI
Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:

Donde P(x) y Q(x) son funciones reales y continuas y n es una constante real diferente de 0 y 1 se conoce como ecuación de Bernoulli.
La ecuación de Bernoulli(1.12)


Se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución .
Demostración:
Al dividir la ecuación 1.12 por , resulta
(1.13)

Usando la regla de la cadena, calculemos a partir de la sustitución


Sustituyendo en la ecuación 1.13, esta se transforma en


La cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería.
Ejemplo:
xy^i+y=1/y^2….1
Dividiendo por X la ecuación 1 para dejarla de la forma de Bernoulli
y^i+y/x=1/(y^2 x)….2
y^i+yx^(-1)=y^(-2) x^(-1)….2a
Identificando la variable n de la ecuación de Bernoulli n=-2 y haciendo el cambio de variable
u=y^(1-(-2) ) por lo tanto u=y^3….3
Despejando a y tenemos:
y=u^(1/3)….4
Buscando la derivada de y con respecto a x tenemos:
dy/dx=1/3 u^(-2/3) du/dx=y^i….5
Sustituyendo 5y 4 en 2a
1/3 u^(-2/3) du/dx+〖x^(-1) u〗^(1/3)=u^((-2/3) ) x^(-1)….6

Convirtiendo la ec. 6 a una ecuación lineal multiplicando por 3u^(2/3)
du/dx+3x^(-1) u=〖3x〗^(-1)….7
du/dx+3u/x=3/x….7a
Por lo tanto tenemos que buscar el factor integrante u^i+P(x)u=Q(x) por lo tanto P(x)=3/x
e^∫▒P(x)dx=e^∫▒〖3/x dx〗=e^(3 ln⁡〖x 〗 )=e^ln⁡〖x^3 〗 =x^3….Factor integrante
Multiplicando el factor integrante enla ec. 7a
x^3 du/dx+3x^2 u=3x^2….8
Factorizando
d/dx (x^3 u)=3x^2….9
Integrando ambos lados de la ec 9
x^3 u=x^3+c….10
Despejando u de la ec. 10 tenemos:
u=1+cx^(-3) pero como u=y^3 dado por la ec.3
y^3=1+cx^(-3) por lo tanto y=(1+cx^(-3) )^(-1/3) sol.general

Otra explicación
Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal.Otra situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli.
Definición
Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma



Donde y son funciones reales y continuas en un intervalo y es una constante real diferente de y se conoce como ecuación de Bernoulli.

Observación: cuando la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuandose trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados.

La ecuación de Bernoulli




Se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución
Ejemplo:
y^'+P(x)y=Q(x)y^n
u=y^(1-n) xy^'+y=y^(-2)…. 1.- u=y^3
y^n y=u^(1/3)
n=-2 dy/dx=1/3 u^(-2/3) du/dx
Multiplicamos por 1/x :
y^'+y/x=1/(xy^2 )
Sustituimos los valores obtenidosanteriormente:
1/3 u^(-2/3) du/dx+u^(1/3)/x=1/((u^(2/3))x)
Simplificamos para obtener una ecuación lineal:
3u^(2/3) (1/3 u^(-2/3) du/dx+u^(1/3)/x=1/(u^(2/3) )x)
du/dx+3/x u=3/x
Se obtiene el factor integrante:
〖μ=e〗^∫▒P(x)dx
μ=e^(lnx^3 )∴μ=x^3
Se realiza el proceso correspondiente:
x^3 (du/dx+3u/x=3/x)
x^3 du/dx+3ux^2=3x^2
d/dx (x^3.u)=3x^2
∫▒〖d/dx (x^3.u)=∫▒〖3x^2 〗〗x^3.u=x^3+C
u=1+cx^(-3)
Sustituimos nuevamente:
y^3=1+cx^(-3)
Despejamos a la variable dependiente:
y=〖(1+c/x^3 )〗^(1/3) … Solución general.


ECUACIÓN DE CLAIRAUT
Una ecuación de primer orden que presenta algunas características importantes es la ecuación y=xy^'+f(y'), la cual recibe el nombre de ecuación de Clairaut. Para resolver este tipo de ecuaciones se procede dela siguiente manera:
y=xy^'+f(y')
y=xv+f(v) Realizar un cambio de variable v=y' en la ecuación original
y^'=v+xv^'+f^' (v)v' Se deriva la ecuación
v=v+xv^'+f^' (v)v' Se vuelve hacer el cambio de variable v=y'
xv^'+f^' (v) v^'=0 Se iguala a cero
v^' (x+f^' (v) )=0 Se tiene que factorizar
v^'=0 ; x+f^' (v)=0 Se obtienen dos resultados
Si v'=0 entonces se tiene que...