economía

Solucionario

10

Derivadas
ACTIVIDADES INICIALES

10.I.

Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1, 3) y B(3, 7), calculando previamente su pendiente.
7 Ϫ 3
m ϭ ᎏᎏ ϭ 2. Por tanto, la ecuación será y Ϫ 3 ϭ 2(x Ϫ 1).
3 Ϫ 1

10.II.

ෆ
͙xy3
Toma logaritmos en la expresión: A ‫—— ؍‬
z

΂ ΃

xy3
͙ෆ
log A ϭ log ᎏᎏ ϭ log
z

ෆ
͙xy3

1
1
3Ϫ log z ϭ ᎏᎏ log (xy3) Ϫ log z ϭ ᎏᎏ log x ϩ ᎏᎏ log y Ϫ log z
2
2
2

10.III. Escribe en forma algebraica las siguientes expresiones:
a) log A ‫ 3 ؍‬log 2 ؊ 3 log x ؉ 2 log y ؊ 4 log z
1
b) log B ‫ 3[ —— ؍‬log x ؉ log y] ؊ log z
2
23 и y2
8y2
a) log A ϭ log ᎏᎏ ⇒ A ϭ ᎏᎏ
x3 и z4
x3 и z4
3
ᎏᎏ

1
ᎏᎏ

x2 и y2
x͙ෆ
x и y
b) log B ϭ log ᎏ ⇒ B ϭ ᎏᎏ
z
z

EJERCICIOS PROPUESTOS
10.1.Considera la función f (x) ‫ ؍‬x2 ؊ 1. Calcula con ayuda de la calculadora:
a) TVM f[1, 100]

c) TVM f[1, 2]

e) TVM f[1; 1,1]

g) TVM f[1; 1,001]

b) TVM f[1, 0]

d) TVM f[1; 1,5]

f) TVM f[1; 1,01]

h) TVM f[1; 1,0001]

¿A qué valor se acercará TVM f[1; 1,00001]? ¿Cuál será el valor de TVI f (1)?
f (100) Ϫ f (1)
9999 Ϫ 0
a) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 101
100 Ϫ 1
99

f(1,1) Ϫ f (1)0,21 Ϫ 0
e) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 2,1
1,1 Ϫ 1
0,1

f (10) Ϫ f (1)
99 Ϫ 0
b) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 11
10 Ϫ 1
9

f(1,01) Ϫ f (1)
0,0201 Ϫ 0
f) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 2,01
1,01 Ϫ 1
0,01

f (2) Ϫ f (1)
3 Ϫ 0
c) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 3
2 Ϫ 1
1

f(1,001) Ϫ f (1)
0,002001 Ϫ 0
g) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 2,001
1,001 Ϫ 1
0,001

f (1,5) Ϫ f (1)
1,25 Ϫ 0
d) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 2,5
1,5 Ϫ 1
0,5

f(1,0001) Ϫ f (1)
0,00020001 Ϫ 0
h) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 2,00011,0001 Ϫ 1
0,0001

Está claro que TVM f[1; 1,00001] se acerca a 2:
f (1,00001) Ϫ f (1)
0,00002 Ϫ 0
TVM f[1; 1,00001] ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 2,00001 Ϸ 2
1,00001 Ϫ 1
0,00001
(1 ϩ h)2 Ϫ 1 Ϫ 0
f (1 ϩ h) Ϫ f (1)
h2 ϩ 2h
h(h ϩ 2)
TVI f (1) ϭ lim ᎏᎏ ϭ lim ᎏᎏᎏ ϭ lim ᎏᎏ ϭ lim ᎏᎏ ϭ lim (h ϩ 2) ϭ 2
h→0
h→0
h→0
h→0
h→0
h
h
h
h

82

Solucionario

10.2. La siguiente gráfica muestra laevolución de un capital invertido en dos fondos de inversión diferentes y en distintos momentos.

€
1080
1070
1060
1050

a) ¿Cuál es la TVM de cada uno de los capitales desde el inicio? ¿Y en los
últimos 4 meses? ¿Y en el último mes?

1040
1030

b) ¿Puedes decidir qué fondo es más rentable?

1020
1010
1000

E F M A M J J A S O N D

Si llamamos t a los meses transcurridos desde elcomienzo del estudio, f a la función superior y g a la función
inferior, podemos contestar, observando que el mes de inicio es diferente en los fondos de inversión.
a) Desde el inicio:
g(11) Ϫ g(4)
f(11) Ϫ f (0)
1080 Ϫ 1050
1050 Ϫ 1010
TVM f[0, 11] ϭ ᎏ
ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 2,73; TVM g[4, 11] ϭ ᎏ
ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 5,71
11 Ϫ 0
11
7
11 Ϫ 4
En los últimos cuatro meses:
g(11) Ϫ g(7)
f (11) Ϫ f (7)
1080 Ϫ1080
1050 Ϫ 1030
TVM f[7, 11] ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 0; TVM g[7, 11] ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 5
11 Ϫ 7
11 Ϫ 7
4
4
En el último mes:
f(11) Ϫ f (10) 1080 Ϫ 1090
1050 Ϫ 1040
TVM f[10, 11] ϭ ᎏ
ᎏϭᎏ
ᎏ ϭ Ϫ10; TVM g[10, 11] ϭ g(11) Ϫ g(10) ϭ ᎏ
ᎏ ϭ 10
ᎏᎏ
11 Ϫ 10
1
1
11 Ϫ 10
b) Es más rentable el fondo de la gráfica inferior.

10.3. Representa la función f(x) ‫ ؍‬x2 ؉ x ؊ 2. Dibuja la tangente a la curvaobtenida en el punto de abscisa x ‫.1 ؍‬
a) ¿Cuál es la pendiente de dicha recta?
b) Calcula f؅(1) y compara los resultados.
a) La pendiente de la recta tangente es 3.

Y

(1 ϩ h)2 ϩ 1 ϩ h Ϫ 2 Ϫ (12 ϩ 1 Ϫ 2)
f (1 ϩ h) Ϫ f(1)
b) f Ј(1) ϭ lim ᎏᎏ ϭ lim ᎏᎏᎏᎏᎏ ϭ
h→0
h→0
h
h
1
O 1

h2 ϩ 3h
h и (h ϩ 3)
f Ј(1) ϭ lim ᎏᎏ ϭ lim ᎏᎏ ϭ lim (h ϩ 3) ϭ 3
h→0
h→0
h→0
h
h
X

Ambos valorescoinciden.

10.4. Completa la tabla para la función f(x) ‫ ؍‬x3 en a ‫.1 ؍‬
h

1

0,5

0,1

0,01

0,001

f(a ؉ h) ؊ f(a)
—
—
h

7

4,75

3,31

3,0301

3,003001

10.5. Aplicando la definición de derivada, obtén la derivada de las siguientes funciones.
a) f(x) ‫( ؍‬x ؊ 1)2

1
b) f (x) ‫—— ؍‬
x

c) f (x) ‫؍‬

ෆ
͙x

(x ϩ h Ϫ 1)2 Ϫ (x Ϫ 1)2
f(x ϩ h) Ϫ f(x)
h2 ϩ...