ECONOMETRIA CORTE TRANSVERSAL II


2. Variables Dependientes Continuas Limitadas

Muchas veces en el análisis de la información de corte transversal nos enfrentamos con la necesidad de trabajar con variables dependientes continuas pero que tienen algún tipo de limitación o restricción a lo largo de su rango relevante de estudio. Este sería el caso típico de las notas que se obtienen en un examen o en un curso, las mismas quefluctúan entre 0 y 20, dejando de lado la posibilidad de que un alumno sobresaliente pueda ir más allá del 20, y uno de muy bajo rendimiento pueda ser calificado por debajo del cero.

Las razones de estas limitaciones puedan ser diversas pero se pueden categorizar en tres grandes grupos o tipos de modelos de variables dependientes limitadas: truncadas, censuradas y con sesgo de selección (otruncamiento incidental).

2.1. Truncadas
El truncamiento se produce cuando la variable dependiente, así como la información referida a las posibles explicativas del modelo, las Xi’s, se observan si y sólo si , donde ‘a’ es una constante.

Por ejemplo, la disponibilidad a pagar por un automóvil nuevo, si es que es cierto que el más barato tienen un precio de $7,000. De esta manera, cuando la persona estádispuesta a pagar $7,000 o más, es probable que compre el carro y entonces se registra su gasto (Yi) y sus datos (Xi’s). Si por el contrario la persona está dispuesta a pagar menos de $7,000, no adquiere ningún automóvil y se pierden todos sus datos.

Teorema: la distribución de una variable truncada. Si Yi  y “a” es una constante , entonces:

1

donde , y  es el ratio de Mills que es iguala:
si Yi > a (Truncamiento hacia abajo) 2
si Yi < a (Truncamiento hacia arriba) 3

Definamos ahora el siguiente modelo para el ejemplo, la disponibilidad a pagar por un automóvil:

, donde 4

5

Lo que aplicando el teorema supone que:
6

De esta forma, el modelo de variable dependiente truncada sería:

7

el mismo que sólo es posible estimarpara el conjunto de observaciones no truncadas.

Si se estimara Yi en función sólo de X, entonces se estaría omitiendo una variable, () que, debido a la pérdida de información que implica el truncamiento, no es posible estimar; por ello no es adecuado usar directamente MCO. Es así que la única posibilidad que queda es estimar el modelo por MV utilizando la FV truncada:

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Note que lafunción de densidad truncada se deduce del siguiente procedimiento:

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2.2. Censuradas
Volvamos al ejemplo de la disponibilidad a pagar por el automóvil, y supongamos que esta vez si la persona no compra el auto sí se registran sus datos (Xi’s) en una base de datos, como cliente potencial. En esta situación la variable Yi tomará el valor pagado por la persona si compra el auto, y el de 0 si no locompra. En cualquiera de los dos casos, se habrá recogido información sobre el cliente. De esta manera, podemos decir que la variable Yi ha sido censurada en 0 para disponibilidades a pagar menores que 7000.

Pongamos otro ejemplo que nos ayudará en la presentación del modelo. Supongamos que Y* es el puntaje en una prueba de aptitud con puntos en contra:

Si
Si

en ambos casos se tienenlas Xi’s. Entonces:



i) Para una observación tomada al azar

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Note que ahora como la censura es 0, se tiene que:




ii) Para una observación no censurada: como es una situación similar a la de las observaciones no truncadas, el modelo sería el mismo:

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2.2.1. Estimación
a) MCO

La estimación MCO se hace a través de un procedimiento en dos etapas. Para ello utilizaremos unavariable auxiliar (Zi) de la forma:

Si no hay censura
Si hay censura
En la primera etapa, se corre un probit con Zi a fin de obtener los estimados y construir y . En la segunda se utiliza para correr cualquier de los dos modelos de las ecuaciones (10) y (11) con MCO:

 Modelo (10) con todas las observaciones


por lo que se corre

 Modelo (11) usando observaciones no censuradas...