Operaciones con funciones

OPERACIONES CON FUNCIONES
 
Suma de funciones
Sean f  y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por
 
                                          
 
Resta de funciones
Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variablereal f y g, como la función
 
                                          
 
Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.
 
Producto de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por
 
                                          
 
Cociente de funcionesDadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por
 
                                                
 
(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)
 
Producto de un número por una función
Dado un número real a y una función f, el producto del número por lafunción es la función definida por
 
                                             
 
 
Ejercicio:
 Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4.
 
Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.
 
Resolución:
 
 La función f + g se define como
(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.
 
 (f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7
(f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18
(f + g)(1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2
 
Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.
 
Por ejemplo, para la imagen del 2,
                                                       
 
 
 Dadas las funciones f (x) = x2 - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).
 
Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.
 
Resolución:
 


  
  Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.
 
 

 
Resolución:
 

 
Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.
 
 
 Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g.
 

 
Resolución:
 

 
Lafunción f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.
 

 
Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.
 
 

 
Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.
 
Resolución:
 






Operaciones con funciones
Sean  f  y  g dos funciones reales de variable real y de dominios  Dom(f) y Dom(g), respectivamente.
Suma de funciones
Llamamos suma de f y g, a una operación real que denominamos (f + g) tal que:


(f + g) (x) = f(x) + g(x)           , para todo    x ∈ [Dom(f) ∩ Dom(g)]



Llamamos función nula o función cero a aquella función que asigna a cualquier elemento del dominio el valor 0 como imagen. La expresamospor 0.


Se verifica que:


               (f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x)


Por tanto, la función nula es el elemento neutro para la suma de funciones.



Dada una función f definida en D, llamamos función opuesta de f, y la expresamos por - f, a la función:


               


La función opuesta verifica que para toda función f se cumple que:


               f + (-f) = (-f) + f = 0


La funciónopuesta es el elemento opuesto para la suma de funciones.


Ejemplos de suma de funciones
Dadas las funciones  f  y  g , vamos a hallar (f + g):





               


Como  Dom(f) = R  y  Dom(g) = R - {1} , tenemos que:


               Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = R ∩ [R - {1}] = R - {1}






Veamos si es posible efectuar la suma de estas funciones.


Como  Dom(f) = [9 , ∞)  y  Dom(g) =...