Econometria - modelo lineal

Econometría I
El Modelo Lineal General (I): Estimación Miguel Jerez y Sonia Sotoca Universidad Complutense de Madrid p

Septiembre 2009
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Índice
• El modelo lineal general • Hipótesis del modelo • Mínimos cuadrados ordinarios • Máxima verosimilitud • Medidas de ajuste • Anexos

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El modelo lineal general (I): Definición
Sea elModelo Lineal General (MLG), definido por:
k

y t = ∑ βi xti + εt (t = 1, 2, … , n )
i =1

(1)

en donde:

yt xti βi εt
k n

: observación t é i b ió t-ésima d l variable endógena o d de la i bl dó dependiente, di t : observación t-ésima de la i-ésima variable exógena, variable explicativa o regresor, és o pa á et o coe c e te, : i-ésimo parámetro o coeficiente, : t-ésimo valor deltérmino de error o perturbación, : número de parámetros, y : número de observaciones o casos de la muestra.

Por tanto el MLG define una relación: • lineal entre una variable endógena y k variables explicativas, • estocástica, ya que admite errores de ajuste, y • útil para i f i l valores y t condicionados a xti ( i = 1, 2, … , k ) inferir los l di i d
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El modelo linealgeneral (II): Formulaciones matriciales
En notación vectorial, la expresión (1) puede escribirse como:

y t = x tT β + εt (t = 1, 2, … , n )
en d d donde:

x tT : vector (1xk) de observaciones de cada una de las k variables explicativas
correspondientes al caso t-ésimo, y

β

: vector (kx1) d parámetros. t (k 1) de á t

o, de forma más compacta, como:

y = X β +ε
en donde: y :vector (nx1) de observaciones de la variable endógena, y

(2)

X : matriz (nxk) q recoge en cada fila las observaciones de todas las variables ( ) que g explicativas correspondientes a cada valor de la variable endógena y, en cada columna, recoge todas las observaciones de cada variable explicativa:
T ⎡ x1 ⎤ ⎡ x11 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ xT ⎥ ⎢ x X = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ = ⎢⎢ 21 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ xT ⎥ ⎢x ⎢⎣ n ⎥⎦ ⎣ n1

x12 … x1k ⎤ ⎥ ⎥x22 … x2 k ⎥ ⎥ ⎥ xn 2 … xnk ⎦⎥
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El modelo lineal general (III): Interpretación de los coeficientes
Cuando las variables explicativas son continuas, los coeficientes de un modelo de regresión pueden interpretarse como derivadas (parciales) de la variable endógena con p p g p respecto a las variables explicativas. Si las variables tienen algún tipo de transformación,esta interpretación general puede concretarse de varias formas. Por ejemplo: Modelo Interpretación matemática y conceptual

y t = β xt + εt

dy β= t dxt d ln y t x dy t β= = t d ln xt y t dxt d ln y t 1 dy t β= = dxt y t dxt dy t dy β= = xt t d ln xt dxt

Cambio esperado en yt cuando xt aumenta en una unidad Cambio porcentual (en tanto por uno) esperado en yt cuando xt aumenta un uno porciento (en tanto por uno) Cambio porcentual (en tanto por uno) esperado en yt cuando xt aumenta en una unidad t id d Cambio esperado en yt cuando xt aumenta un uno por ciento (en tanto por uno)
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ln y t = β ln xt + εt

ln y t = β xt + εt y t = β ln xt + εt

El modelo lineal general (IV): Utilidad
Entre otros usos, los modelos de regresión resultan útiles para: •Predecir los valores de las variables endógenas que con mayor probabilidad acompañarán a un conjunto de valores concretos de las variables explicativas Ejemplo: explicativas. Los sistemas de scoring crediticio de los bancos comerciales estiman la probabilidad de impago de las solicitudes de préstamo en función de las características de la operación y del solicitante • Controlar, calculando losvalores las variables explicativas sobre las que se tiene influencia que generarán con mayor probabilidad el valor que se desea para la variable endógena. Ejemplo: Los bancos centrales calculan el nivel de los tipos de intervención que llevará la tasa esperada de inflación al objetivo • Descomponer, estimando la contribución de cada variable explicativa a los valores observados de las variables...