Economia

Bienestar y Equilibrio General:
ejercicio modelo 2x2x2
Gustavo Torrens

1

La asignación socialmente óptima

M ax
x A ; xB ; y A ; y B ;
LX ; LY ; KX ; KY :

W = (UA )1=2 (UB )1=2

s:a: : UA = (xA )1=2 (yA )1=2
UB = (xB )1=2 (yB )1=2
xA + xB = X = (KX )1=3 (LX )2=3
yA + yB = Y = (KY )2=3 (LY )1=3
K X + KY = K
LX + L Y = L
Incorporando las funciones de utilidad en la funciónobjetivo puede
plantearse la siguiente función lagrangiana:
$ = (xA )1=4 (yA )1=4 (xB )1=4 (yB )1=4 +
+ 1 (KX )1=3 (LX )2=3 xA xB +
+
+

2
3

(KY )2=3 (LY )1=3 yA yB +
K KX KY + 4 L L X

1

LY

Las condiones de primer orden de este problema son las siguientes:
@$
@xA
@$
@yA
@$
@xB
@$
@yB

(yA )1=4 (xB )1=4 (yB )1=4

= 1=4(xA )1=4 (yA )

3=4

(xB )1=4 (yB )1=4

=1=4(xA )1=4 (yA )1=4 (xB )

3=4

(yB )1=4

= 1=4(xA )1=4 (yA )1=4 (xB )1=4 (yB )

@$
= 1=3
@KX
@$
= 2=3
@LX
@$
= 2=3
@KY
@$
@LY
@$
@1
@$
@2
@$
@3
@$
@4

3=4

= 1=4(xA )

= 1=3

=0

(2)

1

=0

(3)

2

=0

(4)

2=3

1

KY
LY

2

1=3

1

LY
KY

(1)

1=3

1

KX
LX

=0

2=3

1

LX
KX

3= 4

1

3

=0

(5)

4=0

(6)

3

=0

(7)

4

=0

(8)

= (KX )1=3 (LX )2=3

xA

xB = 0

(9)

= (KY )2=3 (LY )1=3

yA

yB = 0

(10)

=K

KX

=L

LX

(11)

KY = 0

(12)

LY = 0

A continuación vamos a reunir algunas de las expresiones anteriores,
lo cual nos va a permitir hacer dos cosas. Primero, interpretar las condiciones que caracterizan al óptimo y segundo eliminarlos multiplicadores
de Lagrange del sistema de ecuaciones que forman las condiciones de
primer orden.
De las expresiones (1) y (2) se tiene:
yA
=
xA

1

:

2

De las expresiones (3) y (4) se tiene:
yB
=
xB
2

1
2

:

El lado izquierdo de las dos expresiones anteriores es la relación marginal de sustitución entre el bien Y y el bien X para el consumir A
y Brespectivamente. Por lo tanto, el óptimo social es e…ciente en el
consumo, ya que:
A
RM SY;X =

yA
=
xA

1

yB
B
= RM SY;X :
xB

=

2

(13)

De las expresiones (6) y (5) se tiene:
2

KX
=
LX

4

:

3

De las expresiones (8) y (7) se tiene:
KY
=
LY

1=2

4

:

3

El lado izquierdo de las dos expresiones anteriores es la relación marginal de sustitución técnica entreel factor capital y el factor trabajo para
las industrias X e Y respectivamente. Por lo tanto, el óptimo social es
e…ciente en la producción, ya que:
X
T M STK;L = 2

KX
=
LX

4

= 1=2

3

KY
Y
= T M STK;L :
LY

(14)

De las expresiones (5) y (7) se tiene:
LY
KY

2

LX
KX

1 =3

2=3

=

1

:

2

El lado izquierdo de la expresión anterior es la tasamarginal de
transformación entre el bien Y y el bien X . Por lo tanto, el óptimo
social es e…ciente en el mix producción-consumo, ya que:
2
T M TY;X =

LY
KY
LX
KX

1=3

2= 3

=

1

=

2

yi
i
= RM SY;X ; i = A; B:
xi

(15)

Las tres condiciones anteriores ((13), (14) y (15)) nos indican que el
óptimo social genera una asignación de recursos e…ciente en el sentido
dePareto. Vale decir, en el óptimo social no es posible realizar ninguna
reasiganación de recursos (bienes o factores) que no empeore a ningún
individuo y mejore a por lo menos una persona.
3

Adicionalmente, el óptimo social garantiza la justicia social o una
distribución del bienestar socialmente óptima de acuerdo con la función
de bienestar considerada. De las expresiones (1) y (3) setiene:
xA = xB :
El lado izquierdo de esta expresión indica el incremento de bienestar
social cuando el individuo A obtiene una unidad adicional del bien X ,
mientras que el lado derecho representa el incremento de bienestar social
generado por una unidad más del bien X suministrada al individuo B .
Es decir, el óptimo social garantiza la equidad social, justicia social o
distributiva:
@W @UA...