Economia

´ 1 LOS NUMEROS NATURALES Æ.

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Los numeros reales. ´
1. Los numeros naturales Æ. ´
Los n´ meros naturales son aquellos que sirven para contar y son: u
Æ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

El conjunto de los n´ meros naturales se designa por el s´mbolo Æ. Los conjuntos de n´ meros que se ver´ n en u ı u a ı este tema se representan sobre una recta. As´ para los n´ meros Æ la recta ser´a similara la mostrada en la figura ı u 1. La recta real es infinita, ya que hay infinitos n´ meros que poner sobre ella. u

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 1: Recta representando la recta sobre la que se colocan los n´ meros naturales (Æ). u

1.1.

Repaso de los numeros primos. ´

Definici´ n: Un n´ mero es primo si al dividirlo entre otro n´ mero, s´ lo se obtiene una divisi´ n exacta si se o u u o odivide entre el mismo o el 1. ´ Por ejemplo, el n´ mero 5 es primo, ya que, el resto de la divisi´ n entre 5 y otro n´ mero s´ lo sale 0 cuando se u o u o divide entre 1 o 5. El resto de dividir 5 entre 4, 3 o 2 no es 0. ´ ´ El n´ mero 7 es primo, ya que, el resto de la divisi´ n entre 7 y otro n´ mero s´ lo sale 0 cuando se divide entre 1 u o u o o 7. El resto de dividir 7 entre 6, 5, 4, 3 o 2no es 0. ´ ´ El n´ mero 10 no es primo, ya que, 10 entre 5 es una divisi´ n exacta. Recordemos que para ser primo, s´ lo se u o o puede dividir entre 1 o el mismo. ´´ N´ meros primos importantes son: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23,... u ´ 1.1.1. Descomposicion de un numero en sus factores primos. ´ Cualquier n´ mero se puede puede escribir como producto de n umeros primos. Por ejemplo, el 10 no es u´ primo y se puede escribir como producto de 2 y 5 que s´ son primos: 10 = 2 · 5 ı Hay que recordar algunas propiedades de los n´ meros primos que pueden ser utiles para esta tarea: u ´ S El 2 divide a todos los n´ meros pares. Es decir, si un n´ mero es, par al dividirlo entre 2 la divisi on u u ´ ser´ exacta. a S El 5 divide a todos los n´ meros acabados en 0 o en 5. Por ejemplo, los siguientesn´ meros se pueden u u ´ dividir entre 5 obteniendo una divisi´ n exacta: 15, 10, 25, 2005, 3450, 12345,... o S El 3 divide a todos los n´ meros cuya suma de sus cifras se pueda dividir entre 3. Por ejemplo, el 37032 u se puede dividir entre 3, ya que, 3 + 7 + 0 + 3 + 2 = 15 y 15 se puede dividir entre 3.

´ 1 LOS NUMEROS NATURALES Æ.

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El resto de n´ meros primos tambi´ n suelen tenerreglas similares a las vistas, pero suele ser m´ s c´ modo u e a o hacer la divisi´ n y ver si esta sale exacta. o Para descomponer un n´ mero en sus factores primos se procede de la siguiente manera: u
Se har´ n los ejemplos descomponiendo en n´ mero 120. a u

x Se coloca el n´ mero a descomponer en una construcci´ n similar a la de la figura: u o 120

y Comenzando por los n´ meros primos m´ speque˜ os se va comprobando si alguno divide al n´ mero que se u a n u desea descomponer.
Nos interesan los n´ meros primos a partir del 2 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23,...). Siempre hay que procurar empezar a usar u los n´ meros primos m´ s peque˜ os. En este caso se comienza con el 2. El 2 divide a 120. Esto se puede ver haciendo la u a n divisi´ n 120/2 = 60 que es exacta, o bien, usando laspropiedades de los n´ meros primos, 120 es par, por lo tanto se o u puede dividir entre 2.

z Una vez que se encuentra un n´ mero primo que divida al n´ mero, se a˜ ade a la operaci´ n y se pone el u u n o resultado de la divisi´ n entre ambos debajo del n´ mero a factorizar. o u
En este caso 120/2 = 60 por lo que se escribir´a: ı

120 2 60

{ Se repite el paso y usando el resultado de ladivisi´ n del n´ mero que se haya encontrado. o u
Es decir, ahora hay que trabajar con el 60. Se comprueba si 60 es divisible entre 2. S´ lo es por ser par, por lo tanto: ı

120 2 60 2 30

Se repite el proceso con el 30. Se comprueba si 30 es divisible entre 2. S´ lo es por ser par, por lo tanto: ı

120 2 60 2 30 2 15
Se repite el proceso con el 15. Se comprueba si 15 es divisible entre 2....